如有疏漏,敬请指正

1

题目:
Find a subset of $\mathbb{Z}$ closed on $+$ and $\cdot$ , and it includes an integer $k>0$, but is not a ring. What would happen if it’s a subset including $–k$?
解答:
(1)
可以构造集合$\langle k \rangle$或者$\mathbb{Z}^{+}$,它们都对$+$与$\cdot$封闭,但是找不到加法单位元
(2)
如果将$k$改为$-k$,则找不到这样的子集$S \subseteq \mathbb{Z}$满足题干中所述条件

2

题目:
Show whether a subring of a ring / integral domain / field is also a ring / integral domain / field.
解答:
(1)
设$R$是一个环,$S$是其任意一个子环
那么有$1_{R} \in S$
且对任意$a,b \in S$,都有$a-b \in S, a \cdot b \in S$
下证$(S,+)$是一个阿贝尔群
由于$1_{R} \in S$,则有$1_{R} - 1_{R} = 0_{R} \in S$
若$b \in S$,那么就有$0_{R}-b = -b \in S$
若$a \in S$,那么有

因此$S$对$+$封闭
因为$S \subseteq R$,因此对任意$a,b,c \in S \subseteq R$,都有

对于每一个$b \in S$,已知$-b \in S$
那么有$b-b=b+(-b)=0_{R}$
因此$(S,+)$是一个阿贝尔群
因为$S \subseteq R$,因此对任意$a,b,c \in S \subseteq R$,都有

已知$a \cdot b \in S$
由于$S \subseteq R$,同理可得$(S, \cdot )$满足结合律
综上所述,环的子环也是环
(2)
设$R$是一个整环,$S$是其任意一个子环
那么有$1_{R} \in S$
且对任意$a,b \in S$,都有$a-b \in S, a \cdot b \in S$
因为$R$是交换环,所以$S$也是交换环
由于$1_{R} \in S$,则有$1_{R} - 1_{R} = 0_{R} \in S$
由整环定义可知$1_{R} \neq 0_{R} \in S$
因为$S \subseteq R$,因此对任意$a,b,c \in S \subseteq R$,若$c \cdot a= c \cdot b$,有

因此整环的子环是整环
(3)
域的子环不一定是域
例如,$\mathbb{R}$是域,$\mathbb{Z}$是$\mathbb{R}$的子环,但是$\mathbb{Z}$不是域,因为对部分$a \in \mathbb{Z}$,不存在$a^{-1} \in \mathbb{Z}$使得$a^{-1} \cdot a=1$

3

题目:
Show that $F=( \lbrace a+b \sqrt{2} : a,b \in \mathbb{Q} \rbrace, +, \cdot )$ is a field
解答:
待补充

4

题目:
If $R$ is an integral domain but not a field, and $S$ is a set satisfying $R \subset S \subset Frac(R)$, prove that $S$ is not a field.
解答:
易知,$R$上的运算定义在$Frac(R)$上有相同定义
因为$Frac(R)$是域,因此$Frac(R)$也是一个整环
假设存在域$S$,使得$R \subset S \subset Frac(R)$
则$S$也是一个整环,可得$Frac(R)$中的运算对$S$封闭
则对任意$a,b \in Frac(R)$,有$a,b \in S$
对任意$a+b,ab,a/b \in Frac(R)$,有$a,b \in S$
因此$Frac(R) \subseteq S$,与$S \subset Frac(R)$矛盾
综上:不存在域$S$,使得$R \subset S \subset Frac(R)$

5

题目:
Show that if $R$ is a nonzero commutative ring, then $R[x]$ is not a field.
解答:
假设$R[x]$是一个域
令$a_{0}+a_{1}x+ \cdots +a_{n}x^{n} \in R[x]$
由$R[x]$是一个域,有$x \in R[x]$使得

可得$a_{0}=a_{1}= \cdots =a_{n}=0,0=1$,矛盾!
因此若$R$是一个非零交换环,则$R[x]$不是一个域

6

题目:
If $R$ is a commutative ring and $f(x)=\sum a_{i}x^{i} \in R[x]$ has degree $n \geq 1$, define its derivative $f(x)’$ by: $f(x)’=a_{1}+2a_{2}x+ \cdots +na_{n}x^{n-1}$. Prove that the following rules hold:

  • $(f+g)’=f’+g’$
  • $(rf)’=rf’$ if $r∈R$
  • $(fg)’=f’g+fg’$
  • $(f^{m})’=mf^{m-1}f’$ for all $m∈\mathbb{Z}^{+}$

解答:
可得

令$g(x)=\sum_{i=0}^{m} b_{i}x^{i}$

(1)
计算得

因此

综上,$(f+g)’=f’+g’$
(2)
计算得

综上,$(rf)’=rf’$
(3)
计算得

因此

综上,$(fg)’=f’g+fg’$
(4)
当$m=1$时该等式为

显然成立
假设$m=k$时该等式成立,即

则当$m=k+1$时有

满足该等式
综上,$(f^{m})’=mf^{m-1}f’$