PS Remote Play现已支持在主机没有公网IP的情况下远程游玩，然而直接使用可能会遇到问题，错误代码为8801330d，以下是我的解决方法。

经过排查，可能是由于路由器的防火墙阻断了主机在某些端口发起的连接，导致连接失败。因而可以将PS5配置DMZ主机，从而放行PS5的连接。试验后，可以成功远程连接到PS5。

DMZ主机设定

目前，不少家庭使用的光猫默认为路由模式，这种模式下，可将光猫修改为桥接模式，或者在光猫的防火墙设定将下游路由器配置为DMZ主机。

Taihu Lake, Suzhou

2022年是很平淡的一年，也没有遇到什么特别印象深刻的事情，虽然可能遇到一点波折，但是最后也都能够成功地解决，生活也越来越幸福美满。

一生中经历波动实属正常，但是如果能保证自己不受波及，这些经历将会是我们不可多得的财富，这样让我们面对未来的风险挑战时，能够更有底气。

Taihu Lake, Suzhou

2021年也要过去了，还是想纪念一下。

永恒的舞蹈

今年花了不少时间在准备考试上面，9月之前很放松，9月之后就开始慢慢变得紧张起来，但不论心情如何，依旧经常被那些似懂非懂的符号弄的自闭来，自闭去。

到后面，开始试着给自己找一找调剂品，于是就开始试着看经济类的文献，这是因为有一天不小心打开了俄罗斯银行的网站，点开了一篇文章，然后就变成习惯了，一切都很偶然。

以前在家乡的时候喜欢去长江边，看对过江阴的丘陵，看江面上各种各样的轮船，波浪无尽地拍打着江堤，发出阵阵回响。小时候也喜欢在电子屏幕面前，看着那些各种各样的符号与图形在屏幕上跳动。我也喜欢有各种几何符号的图画，它们给我展示了宏大的图景。

每次看到充满符号与数字的文本，以及各种各样的五颜六色的图线，都让我有一种幸福感，它们似乎一直在永恒的舞蹈中跳动，并与其它永不止息的运动一起，相互联系着，尽管我可能要花不少时间来理解这些符号的组合的含义是什么。

既然身处在永恒的舞蹈之中，那么什么时候才能真正理解这场舞蹈呢？

Despite numerous obstacles on the way ahead, I will still make full efforts to jump into the everlasting dance with symbols.

忽然又想到了Ray Dalio讲的一段话

The economy is like a machine. At the most fundamental level it is a relatively simple machine. But many people don’t understand it – or they don’t agree on how it works – and this has led to a lot of needless economic suffering. I feel a deep sense of responsibility to share my simple but practical economic template, and wrote this piece to describe how I believe it works. My description of how the economy works is different from most economists’. It has worked better, allowing me to anticipate the great deleveragings and market changes that most others overlooked. I believe that is because it is more practical. Since I certainly do not want you to blindly believe in my description of how the economic machine works, I have laid it out clearly so that you can assess the value of it yourself. So, let’s begin.

结束

今年一直都在做自己喜欢做的事，尽管最后的结果可能会不及预期，但这依旧是一段美好的回忆，这段经历应该也会在以后深刻地影响着自己。

在答题纸上，我写下了这样一段话

…

In contrast, others still remain the thirst for new knowledge and seize every chance to learn something new, which broadens their horizons, sheds light on unknown fields and paves the way for future success.

…

Therefore, in my opinion, it is of necessity for us college students to keep curious and learn everything we have not learnt. Only through integrating this principle into our life, can we gain personal success and contribute more to the strategy of innovation-driven development.

无论如何，为了自己觉得纯粹的有意义的事情投入时间与精力，总归是一件幸福的事情。

It’s time to roll up our sleeves and go ahead.

英格兰银行于2021年9月24日发表了工作论文《风险和全球供应链：我们所知道的和我们需要知道的》。

以下为部分内容的节选翻译：

在衡量外国供应冲击的风险时，核心问题是：东西是在哪里生产的？答案有三层。当一辆福特汽车从密歇根州迪尔伯恩的装配线上驶下时，我们可以说它是迪尔伯恩制造。这是在第一层，但并非全部。第二层意识到，迪尔伯恩工厂从国内和国外的其他部门购买投入。追踪投入品的第一层的生产地点，我们就能得到第二层；通过这个，可以直接观察对外国投入品的依赖性，即从“进口到生产”（I2P）。I2P有很多优点，其衡量标准可以在标准的贸易数据库中直接检索，但I2P也并非全部，因为购买的外国投入也会使用投入。第三层，即对外国投入品依赖的全部分析，其考虑到了所有投入品进入所有投入品的无限序列。这可以在全球投入产出矩阵和线性代数的帮助下找到。

逻辑上的出发点是众所周知的生产的用途性质，即生产被用作生产的中间投入，或被用作消费、投资或出口的最终产品。每个部门的这一特性可以被表示成：

其中$X$是每个部门总产量的向量（如果有$n$个部门，那么$X$是$n \times 1$的向量），$F$是与之对应的$n \times 1$的最终用途向量，$A$是直接消耗系数矩阵，显示每个部门生产一个单位产出所需的投入，它是一个$n \times n$的矩阵。换句话说，$AX$是中间用途，$F$是最终用途。在这个文献中，$X$通常被称为 “总产量”，以区别于 “净产量”，即产量减去用作中间投入的产出。

由于世界是一个封闭的经济体，这些概念同样适用于一个国家的情况和一个有许多国家的情况。如果$m$个国家中的每个国家有$n$个部门，那么向量是$nm \times 1$，A是$nm \times nm$。传统上，下标被用来追踪原产部门和国家，以及目的部门和国家。但对于这里的讨论来说，这些是不必要的。

$X$给出了第一层的答案，即东西是在哪里生产的，$AX$给出了第二层的答案，即直接购买的投入品的来源。为了得到第三层的答案，即对外国投入的总依赖，必须用线性代数的方法考虑到投入的投入。对$X$进行求解，得到$X=LF$，其中$L$是列昂惕夫逆矩阵，即

为了确定$L$告诉我们什么，假设我们想确定在$n \times m$部门中的第一个部门（甲国的甲部门）生产一美元最终产出所需的所有产品。为此，我们将F的第一个元素设为1，并将所有其他元素归零。使用$X=LF$，我们可以看到，这意味着$L$的第一列告诉我们每个国家的每个部门需要多少产量最终来生产我们所研究部门的单位产出。这提供了第三层的答案：它告诉我们甲国的甲部门对世界上所有部门的生产有多大的影响。更一般地说，$L$的每一列都列出了生产相应部门的一单位最终产出所需的产量。

（完）

点此可以查看原文。

本片段为个人翻译，欢迎与我联系以指出错误和疏漏。

Bridgewater Associates于2020年9月30日发表了研究报告《中国差异化的经济和市场结果以及地区多元化的必要性》。

要点归纳如下：

1. 经济活动之间的差别，以及地区内和地区间潜在的冲突，使得（不同地区间的）经济和市场结果与以往十年相比更不相关，因而对于投资者而言，关注地区差异变得更加重要
2. 中国超预期的经济表现以及相对更高的资产收益率使得中国的资产与发达国家相比有所不同
3. 从历史上来看，中国的市场和经济条件与发达经济体之间的相关度较低，一个有地区差异的投资组合也能产生更稳定的收益流
4. 中国的政策制定者正在积极开放金融市场，并推进人民币国际化，同时主要市场指数份额的增加正在促进全球资本流入
5. 中国的经济复苏由生产驱动，国内消费复苏相对缓慢，这与世界上其他地区有所不同
6. 中国超预期的经济表现主要是因为经济的快速重启以及满足全球需求的全面复工，中国也能够迅速改组工厂以提供与抗击疫情相关的供应，然而国内消费在一定程度上拖慢了经济复苏
7. 尽管2020年第一季度的收入增长有所下降，但总体而言并未收缩，并在此后有所改善
8. 复苏在很大程度上是迄今为止财政宽松政策的产物，大部分宽松来自政府直接支出和针对企业的刺激措施，对家庭的直接支持很少
9. 中国的政策制定者更倾向于有针对性的宽松，过去十年的信贷过剩造成了对重新引起过度信贷的低容忍
10. 曲线短端的收紧政策以及持续的监管政策已成功遏制了不透明和非生产性领域的金融套利活动和债务积累，而不会消耗实体经济
11. 中国在金融科技公司帮助评估信贷质量的情况下，通过银行信贷来支持中小企业，这与西方有所不同
12. 处于对金融泡沫化的长期担忧，监管层引入“三道红线”限制房地产商的债务，收紧住房监管（主要针对开发商融资），并通过宏观审慎政策防止过度行为

点此可以查看原文。

欧洲央行行长Christine Lagarde于2021年9月28日在欧洲央行“疫情之后：货币政策的未来”论坛上发表了讲话。

全文翻译如下：

非典型复苏中的货币政策：在欧洲央行“疫情之后：货币政策的未来”论坛上的讲话

经济已经从悬崖边恢复，但是依然没有完全走出困境。在经历了极不寻常的衰退以后，欧元区正在经历极不寻常的复苏。

这场不寻常的复苏正在导致经济的迅速增长，但也不寻常地导致了经济周期早期的供应瓶颈。随着经济重启，通胀也快速反弹。已有的经济趋势和疫情带来的结构性变化也因此加速，这也会影响未来的通货膨胀。

现在我们需要退一步想想。为了理解货币政策在这个环境下如何运作，我们需要认识我们从何而来，以及当前趋势建议我们将走向何方。John Maynard Keynes所言极是，政策制定者必须始终“为了未来而根据过去研究现在”。

过去十年，强大的反通胀力量抑制了整个通胀过程。当强劲增长正在支持潜在的通胀趋势时，我们目前看到的主要是与经济重启相关的临时的通胀阶段。结构性变化既会对价格产生上行压力，也会对价格产生下行压力。

因此，我们依然需要宽松的货币政策来安全地度过疫情，并让通胀可持续地回到2%的水平。

疫情之前的通胀过程

在疫情之前的十年间，发达经济体的通胀始终处于下行趋势。从活动和就业到工资，再从工资到价格，通胀似乎在传播链条上放缓了。这主要可以归结为三个因素。

首先，测量经济真实的不景气水平变得更加困难。随着经济走强，对结构性失业的估计不断下调。即使随着失业率下降，也有更多的人被吸引到劳动力市场，尤其是妇女和老人。

其次，劳动力市场的结构性变化意味着不景气的消退对薪资增长的影响更加缓慢。自2013年以后，就业岗位迅速增加，但主要都流入了低薪岗位。同时，全球化和自动化等全球因素降低了工人们的议价能力。

最后，当薪资增长最后终于回升时，企业却不大愿意把成本增长转嫁给消费者。相反，我们看到企业压缩了他们的利润。这也反映了更广泛的结构性趋势，例如服务的数字化和电子商务的扩张。

衰退和重启

新冠肺炎疫情导致了一场极其不寻常的衰退，然后是高度不寻常的复苏。

在传统的商业周期里，衰退的深度通常决定了复苏的步伐。在经历了异常严重的衰退以后，供给和需求通常都会受损多年。例如，从大危机一开始，欧元区的GDP总共花了七年才回到疫情前水平。增长也从未接近我们在2008年之前认为的可能的趋势。

在在疫情期间，尽管GDP历经了有史以来最极速的下滑，整体经济却基本上完好地开放了。我们现在预计到今年年底，GDP会超过疫情之前的水平，这比我们去年12月份估计的快了3个季度。并且到2023年，会重新接近危机前的趋势。这是自从1975年以来，欧元区GDP从低谷的复苏最陡峭的一次。

这个结果很大程度上归功于财政政策和货币政策的结合使用，它们保护了需求和供应。例如，由于政府转移支付填补了缺口，2020年实际劳动收入下降了3.6%，但家庭实际可支配收入仅下降了0.2%。这与主权债务危机时形成了鲜明对比，当时可支配收入同比下降了2%。

复苏的非典型性质正在造成经济中的摩擦，这会对增长和通胀造成相反的影响。

在某些部门，供应短缺正在阻碍生产，这在商业周期的早期是不寻常的。欧洲央行的分析发现，如果不是因为供应瓶颈，今年上半年欧元区商品的出口会增加近7%。如果疫情继续影响全球航运和货物处理，以及半导体等关键行业，这些对经济增长的风险可能会增加。

同时，经济重启也推高了通货膨胀率。8月份通胀率达到了3%，预计在未来几个月将进一步上升。目前较高的通胀率主要是由于两个特殊的影响。

第一，去年封城时通胀活动大幅下滑，这在经济活动恢复时产生了强大的基数效应。目前欧元区总通胀的一半是由能源价格造成的，这填补了自2020年开始的下跌。去年德国增值税税率的下调带来的基数效应以及促销期的异常时间也起到了作用。

事实上，去年的低通胀率以及今年的高通胀率平均下来与2019年疫情之前观测到的通胀数据是相等的。因此，现在的物价水平和疫情之前的通货膨胀发展水平大致吻合。

第二，部分行业供给端和需求端之间的不平衡正在推高价格。

8月份的商品通胀水平为2.6%，远高于0.6%的历史平均水平。除了基数效应以外，全球的供应链紊乱也碰到了对耐用品需求的急剧复苏。耐用品的消耗量已经比危机前的趋势高出了1%，然而现在运输成本已经比去年6月份高出了大约9倍。

服务通胀也在8月份上涨到1.1%，如果使用去年的消费权重的话，应该会到2%，这比历史平均水平稍微高一点。这很大程度上是因为需求回到了受封城影响最严重的行业。需要较多接触的服务中的通胀事实上贡献了服务领域的所有增长。

一旦这些由疫情驱动的影响过去，我们预计通胀会下滑。

尽管我们看到石油和天然气价格进一步上涨，但基数效应应该会在明年初从同比计算中消失。

预测供应链中断将持续多久是很困难的，但它们对通货膨胀的最终影响将取决于它们的持续程度，以及它们是否会传导到高于预期的工资上涨。在2011年日本地震和核灾难之后，日本企业的生产估计在7个月之后才恢复正常。然而，鉴于疫情和复苏的特殊性质，不能排除解决供给侧瓶颈需要更长的时间的可能性。

只要通胀预期保持稳定，货币政策一般会“看透”暂时的供应驱动型通胀。事实上，我们正在仔细监测事态的发展，但目前，我们没有看到任何迹象表明这种通胀的增长在经济中渐成气候。通货膨胀的截尾均值（除去通货膨胀率最高和最低的项目）在8月份为2.1%。此外，到目前为止，薪资的发展没有显示出重大的第二轮效应的迹象。

通胀预期也没有长期过高的风险。自今年年初以来，基于市场的长期衡量指标已上升约50个基点，达到约1.75%，基于调查的指标稍微上升到了1.8%。这说明通胀预期正在朝着正确的方向前进，但距离我们2%的目标仍然有一段距离。

后疫情时期的通胀动态

事实上，在后疫情时代，我们希望通胀能够收敛到2%的水平。

这在对基本通胀的展望中是显而易见的，这也是个不错的指标，表明通胀会在中期何时得到解决。我们当前预测2023年的核心通胀率为1.5%。我们对货币分析师的调查也指出，通胀率将逐渐收敛，预计将攀升至2%，并在五年后稳定在该水平。

这部分反映了在疫情之前压制通货膨胀的结构性因素的持续拉动。但是，疫情也创造了一些新的趋势，这些趋势可能对通货膨胀的前景产生影响。

需求侧

第一个与经济需求侧的变化有关。

从历史上看，欧元区的核心通胀主要是由服务业通胀推动的，它在长期平均的1.3个百分点中贡献了1.1个百分点。这既是因为服务在消费中具有较高的比重，也因为全球的自动化和竞争压制了商品通胀。

服务业通胀与国内经济的强劲密切相关。它在很大程度上取决于工资增长，因为工资占消费服务投入的40%左右，是商品投入的两倍。强劲的国内需求对于从工资到服务价格的有力传递至关重要。

因此，现在的关键问题是，走出疫情的过程是否能够提升内需前景，从而促进更有活力的服务通胀。对于这个问题，我们看到了不同的方向。

首先，主要由于封城，家庭在疫情期间积累了大量储蓄。我们新的消费者预期调查表明，家庭目前并不打算花掉这些钱。但如果经济继续沿着动态复苏的道路发展，导致人们调整他们的风险评估，这种情况可能会改变。

事实上，研究表明，消费受人们过去经历的经济衰退的影响，而欧元区之前的经济衰退对消费者的打击尤其严重。从金融危机和主权债务危机开始，消费用了七年时间才回到2008年初的水平。

但到2022年底，我们预计消费将比疫情前的水平高出近3%。如果这种积极的前景受到正确的政策的适当支持，有可能会产生一个良性循环，人们变得更加乐观，提高他们对未来收入的预期，然后花费更多他们所积累的储蓄。这将有助于从需求侧缩小产出缺口，并给工资带来上行压力。

同时，有一些力量表明，服务业通胀的回升速度会放缓。

正如我去年在这里的演讲中所说，服务消费的数量是有限制的，这意味着它们不太可能像商品一样受益于那种被压抑的需求。即使限制正在放宽，在第二季度末，服务消费仍然比疫情之前的趋势低15%左右。

疫情也导致劳动力市场严重疲软。目前，就业正在迅速恢复，但我们迄今观察到劳动力参与率的上升速度更快。这对经济来说是个好消息，但这也意味着，我们预计失业率只有在2023年第二季度才会降到危机前的水平，工资也只会适度增长。

供给侧

第二个趋势与经济供给侧的变化有关。

疫情对全球供应链和国内劳动力市场造成了重大冲击。它大大加快了数字化的进程，据估计，在欧洲加快了七年的进程。这可能会产生分配后果，进而导致社会契约的改变。

从长远来看，其中一些变化可能会抑制通货膨胀的压力。

例如，数字化可能引发基于服务虚拟化的第二波全球化。它可能会导致更高的趋势生产率，即使工资增长变得更加强劲，这也可能会抑制单位劳动成本的增长。它还可能将活动更多地转移到具有相当市场影响力的数字”超级明星“公司，这些公司的定价对商业周期的敏感性较低。

但在未来几年，价格也有可能会被推高。

例如，今天的供应短缺可能会促使企业将其供应链多样化或将部分生产转移到国外。以前的疫情，例如非典，就被发现有这种作用。这一过程会导致更高的成本结构，也将弹性置于效率之上，然后转嫁给消费者。地缘政治也可能干扰贸易模式并加速这些转变。

甚至在持续不景气的情况下，欧洲更快的数字化最初可能会造成技能错配和稀缺，导致工资上涨。据估计，在2019年至2022年中期，主要经济体的工作重新分配率将增加一倍。对不平等问题的重新关注也会加强这种趋势，这可能会导致通过提高最低工资而对工资造成上行压力。

绿色转型

第三个趋势，这可能是最重要的，但也是探讨最少的趋势，是绿色转型，即向低碳经济的转变。

疫情给绿色能源转型带来了动力。它可能导致欧盟碳排放交易系统中的拍卖价格加速上升，也可能引入涵盖更广泛的经济活动的碳价格，以及采用碳排放边界调整机制。上述结果都有可能对通货膨胀产生直接影响。

央行与监管机构绿色金融网络估计，在欧洲实施雄心勃勃的过渡政策，可能会在过渡期内使通货膨胀率相对于以前的趋势逐渐增加一个百分点，然后才能回复到原来的趋势。

绿色能源转型也可能使能源价格向消费者价格的传导更加复杂。随着能源供应向可再生资源的转变，我们不仅要关注油价，还必须要了解能源组合，不同能源之间的联系和它们相互替代的方式。在欧元区，可再生能源已经从1990年占总可用能源的5%增加到今天的15%左右，天然气的份额也从17%增加到24%，而石油则从43%下降到38%。

天然气价格的持续上涨证明了这种情况的复杂性，因为这种上涨部分反映了今年夏天欧洲的风能产量异常低，以及需要用可以快速调动的传统能源来填补这一缺口。这反过来又对其他依赖天然气的行业产生了连锁反应，如化肥制造业，以及依赖化肥生产的副产品的行业，如食品包装。

所以我们将需要更深入地了解这些不同的传导渠道。绿色能源转型对通货膨胀的影响最终将取决于能源供应的发展和财政措施的净效应。

增加使用天然气来稳定电力生产只是一种过渡技术，随着能源储存和分配的新技术的更广泛部署，这种手段将随着时间的推移而消退。而碳定价的影响将取决于额外的收入是否被用于削减其他消费税（如电力税或增值税），支持弱势群体以及促进绿色投资。

如果不是这样，更高的碳定价就可能会降低购买力，并导致相对价格变化，从而推低基本通胀。研究发现，在欧元区国家引入碳税往往会提高总体通胀率，但是会降低核心通胀。

政策启示

关键的挑战是确保我们不会对那些对中期没有影响的暂时性性供应冲击反应过度，同时也要培育积极的需求，这些需求可以持久地将通胀率提升到我们2%的通胀目标。

我们新的利率指导非常适合于管理供给侧风险。这种指导确保我们只对总体通胀的改善做出反应，我们相信这种改善是持久的，并反映在基本通胀动态中。通胀可能会在一个过渡时期适度高于目标，这使我们能够对收紧政策保持耐心，直到我们确定这种改善是持续的。

在支持需求方面，我们的货币政策将继续提供推动复苏所需的条件。事实上，我们的指引已经使利率预期与我们新的通胀目标更好地保持一致，同时有助于加强通胀预期，从而降低实际利率。随着市场继续吸收我们指引的基本原理和关键目的，我们期望看到进一步的进展，使我们政策利率的预期提高时间和最可能的通货膨胀前景之间更加紧密地结合起来。

一旦疫情带来的不确定性消失，特别是考虑到绿色能源和数字转型带来的新投资需求，所有这些都应该为私人支出提供决定性的推动力。欧盟委员会估计，到2030年，我们每年需要看到约3300亿欧元的投资，以实现欧洲的气候和能源目标，此外，每年还需要约1250亿欧元来进行数字转型。

未来财政政策的贡献以及适当的政策组合仍然很重要。我们依旧会保持积极的财政政策，预计今年经周期调整后的基本收支平衡为-4.1%，明年为-1.6%，2023年为-1.5%。但是，与疫情相关的财政转移支付的范围将需要从一个全面的方法转变为一个更有针对性的行动计划。

财政政策必须是精确的，即重点关注那些遭受特别困难的人。政策需要提高生产力，即促进经济的结构性变化，将活动转向面向未来的领域，并在欧洲恢复和复原力基金的框架下实施商定的改革计划。而且，从中期来看，财政政策需要遵循一个基于规则的框架，以支持债务可持续性和宏观经济稳定。

就我们而言，货币政策致力于在大流行病期间为所有经济部门保持有利的融资条件。一旦疫情即将结束，我们对利率以及计划下的资产购买的指导政策继续支持我们中期2%通胀目标的及时实现。

结论

请让我做个总结。

这场大流行病造成了前所未有的经济衰退，以及历史上几乎没有相似之处的复苏。通货膨胀反映了我们目前的特殊处境。我们预计，这些影响最终会过去。

但疫情也带来了新的趋势，可能影响未来几年的通货膨胀动态。这些趋势可能产生对价格产生上行和下行压力。因此，货币政策必须继续专注于引导经济安全地走出疫情，并可持续地将通胀率提高到我们2%的目标。

（完）

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本文为个人翻译，欢迎与我联系以指出错误和疏漏。

美国联邦储备委员会主席Jerome H. Powell于2021年9月28日在美国参议院银行、住房和城市事务委员会发表了讲话。

全文翻译如下：

新冠肺炎疫情和CARES法案：在美国参议院银行、住房和城市事务委员会的讲话

Brown主席，Toomey高级委员和委员会的其他成员，感谢你们有机会让我站在这里，讨论我们为应对新冠肺炎疫情带来的困难而采取的措施。我们的医护人员一直在提供我们最重要的应对措施，我们也对他们的服务心存感激。疫苗接种的进展和前所未有的财政政策也为复苏提供了强力保障。

自从我们上次开会以来，经济持续走强。上半年GDP稳步增长，而且人们普遍预期下半年增长也会保持强劲。最近几个月来，受疫情影响最严重的几个行业也有所恢复，但病例数目的增加拖慢了它们的复苏。家庭支出在今年上半年以特别快的速度增长，但由于对疫情敏感的行业的支出疲软，到了7月和8月变得趋于平稳。在某些行业，近期的供应紧张正在抑制经济活动。

与整体经济活动一样，劳动力市场状况也持续改善。对劳动力的需求非常强劲，过去三个月平均每月增加75万个工作岗位。然而，8月份涨幅明显放缓，放缓主要集中在对大流行最敏感的行业。8月份的失业率为5.2%，这个数字低估了就业的不足，尤其是劳动市场的参与程度并没有从去年长期的低位上扬。与疫情有关的因素，如看护需求和对病毒持续不断的恐惧，正在影响着就业增长。随着疫情被遏制，这些因素的影响应该会减弱。

经济衰退并没有平等地落到所有美国人身上，那些最没办法扛下压力的人是损失最惨重的。尽管取得了一点进展，失业依然影响着服务行业的低收入者和众多非洲裔以及西班牙裔。

通胀率升高可能会在未来几个月内持续下去，然后才会缓和。随着经济继续重新开放和支出反弹，特别是由于某些行业的供应瓶颈，价格正面临着上行压力。这些影响比预期的更大，也更持久，但终究会减弱。并且随着这种减弱，通胀率应该会回落到我们2%的通胀目标。

和经济停摆一样，重新开放经济的过程也是前所未有的。随着重启的继续，（供应）瓶颈、雇佣困难以及其它限制可能会再次被证明比预想的更大，持续时间也更久，并对通胀造成上行压力。如果持续的高通胀成为一个严重问题，我们当然会做出应对，并确保通胀在和我们目标一致的水平上运行。

经济的路径取决于疫情发展的进程，前景也依旧面临着风险。德尔塔变异株造成病例激增，给人们造成了巨大的苦难，并拖慢了经济复苏。疫苗接种的持续进展有助于经济恢复正常。

美联储的政策行动以为美国人民促进最大就业和稳定物价的双重使命，以及我们促进金融体系稳定的责任为指导。为应对危机，我们采取广泛而有力的措施，支持经济中的信贷流动，促进疫情发生时金融体系的稳定。在2020年4月至12月间，我们的行动共计释放了超过2万亿美元的资金，以支持大小的企业、非营利组织以及州和地方政府。这又有助于防止组织关闭，并使雇主随着经济复苏，可以更好地留住工人并重新雇用他们。

这些计划已成为关键信贷市场的后盾，并有助于恢复私人贷款人通过正常渠道获得的信贷。我们以前所未有的程度使用了这些贷款工具。我们的紧急贷款工具需要获得财政部的批准，并且仅在不寻常和危急的情况下使用，例如危机造成的情况。

这些项目中不少得到了冠状病毒援助、救济和经济安全（CARES）法案的资金支持。这些机制在困难的一年间为我们提供了基本的支持，现在已经关闭。

美联储在8月31日完成了对二级市场公司信贷机制的资产出售。我们可以在对信贷条件没有不利影响的情况下，快速有效地关闭这些机制。美联储最近还向新贷款关闭了薪资保护计划流动性机制，这一机制现正处于加时模式。同样，我们正在管理我们的其他CARES法案机制中的资产偿还，因为它们随着时间的推移而逐渐减少。我们将继续分析这些机制的效果，并审查所吸取的经验教训。

总而言之，我们的行动影响着全国各地的社区、家庭和企业。我们所做的一切都在为我们的公共使命服务。我们美联储将尽我们所能支持经济，直到经济完成复苏。谢谢，我期待着你们的提问。

（完）

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本文为个人翻译，欢迎与我联系以指出错误和疏漏。

Andrew Bailey

英格兰银行（英国中央银行）行长Andrew Bailey于2021年9月27日在专业经济学家协会年度晚宴上发表了讲话。

全文翻译如下：

艰难的行程(The hard yards)：在专业经济学家协会年度晚宴上的讲话

随着从新冠肺炎疫情中的复苏，我今晚想谈谈经济状况和我们的货币政策。这篇讲话的标题来自于航海中的一句谚语，尽管我更加倾向于把它与橄榄球比赛的前场比赛联系起来。就在一年前经济复苏看似进展迅速时，我就讲过我们面临着一段艰难的行程，虽然我不想说自己有什么先见之明，但结果就是这样。历史上也不是只有我提出过这样的观点，Milton Friedman和Anna Schwartz就曾在他们的《美国货币史》中提到，1933年以后美国经济的复苏最值得注意的特点，不是它的迅速，而是它的不完整性。

我和货币政策委员会的同事们也用桥梁来类比新冠肺炎流行时期的经济政策。这是一个渡过疫情的桥梁，但我们仍然在桥梁上。

这几个月来，经济复苏已经放缓，而且这种趋势仍然在持续。和2019年第四季度比起来，截至今年7月份的GDP水平下降了3.5%，比8月货币政策报告的规定的水平还低了约1个百分点。增长率和活动水平之间有一个重要的区别。当复苏接近尾声时，增长率放缓不可避免。不过，依旧有希望恢复到先前的水平。

我们看到外出就餐等活动有所恢复，但这些活动正在趋于平稳，不过今晚我们对（这类）活动也做了点贡献。7月份建筑产出下滑，制造业产出陷入停滞，这与供应瓶颈和中断相一致。我们的调查和报告也表明，供应链问题造成的影响正在扩大。

复苏放缓，经济也在受到额外因素的冲击。随着疫情对经济影响的减弱，需求从货物到服务的转换并没有以预想的规模发生。与此同时，供应瓶颈和劳动力短缺已经对生产造成了压力，并且这个压力还在持续。供应瓶颈还在恶化，当我听到我们正在受风能短缺的困扰时，我不禁想问：“大的要来了吗？”

不少供应瓶颈显然不是疫情的原因。也有可能是因为疫情造成的经济脆弱性放大了其它冲击造成的影响，我觉得这个原因的可能性更大一点。

我现在想谈谈劳动力市场，因为这里我们似乎有一个大难题。先讲好消息，到目前为止，尽管是历史上最大的经济衰退之一，我们还没有看到失业率的大幅上升或实质性的公司困境。这是经济政策的一个显著的成功。简单地说，如果当局有工具和信誉，他们可以做很多事情来进行援助。在这种情况下，他们就应该这样做，也不应该有所保留。

然而，劳动力市场给我们出了道难题。税务和海关总署的数据显示，7月份有大约170万个工作岗位被纳入休假计划，到本周晚些时候休假计划将结束。8月份的职位空缺广告数量超过100万个，创下历史新高。在截至7月的三个月里，失业人数比疫情之前还要高出18.6万，不活跃的人数高出63.4万。当然，现在有可能缓解这一状况，但要做到这一点，需要有大量的人从休假、失业和不活动中转移出来，这是前所未见的。

到最后，这道难题会产生几种可能的结果，它们对劳动力市场有不同的影响。第一个结果，被解雇的工人将在很大程度上被重新吸收到他们原来的工作岗位上，即使失业和不活跃的情况进一步减少，我们也会留下过量的职位空缺。如果这些过剩的空缺与特定行业的工人短缺有关，这可能会推高工资。也有可能被解雇的工人没有回到原来的工作岗位，也不适合那些有大量空缺的工作和部门。换句话说，劳动力市场出现了错配。这样的结果可能会提高与稳定工资增长相一致的失业率。

第二个结果则不大一样。如果企业预计到未来失业率下降时将更难找到工人，那么空缺率可能会暂时升高，并在短期内高于其稳定水平。在这种情况下，需求回升，劳动力市场错配的影响会随着时间的推移而消散，空缺和失业最终都会下降。

还有一个可能的解释是，由于雇主高估了复苏速度下降时的需求增长，广告中的职缺数目被抬高了。在这种情况下，一些职缺到最后都不会变成实实在在的工作岗位，因为雇主改变了主意，或者至少他们推迟了招聘工作。

这些劳动力市场的结果对经济增长、通货膨胀和货币政策的影响是完全不同的，这说明了我们所面临的不确定性。

在谈到通货膨胀之前，我想说一下收入问题。从表面上看，总体收入是上升的。7月份的薪酬增长约为8%，这个数目非常高。但是，有几个与疫情有关的扭曲因素一直在推动这一增长：去年平均收入的下降产生了巨大的基数效应，疫情对整个经济活动的影响模式也产生了组合效应，此外，疫情与不同类型工作的薪酬增长的不同也有关系。综上所述，我们认为基本意义上的收入增长率可能在4%左右，这比疫情之前的水平要高，也比我们在这些经济条件下的预期要高一点。但是，还有一个有趣的发展。薪酬增长数据的分散性明显上升，因此，我们可以看到很高的数字，也能看到很低的数字。后面我还会谈到这一点。

我最后想谈的经济情况是通货膨胀。在去年和今年，通胀率一直远远低于目标值，现在已经迅速上升，在8月份达到3.2%。最近的上升在很大程度上反映了去年的基数效应，但我们也看到一些项目出现了异常强劲的增长，包括一些食品、二手车和住宿。我们8月份预测通货膨胀率在今年年底将上升到4%，而自那时以来的情况意味着通货膨胀率可能会上升到略高于4%。导致进一步增长的主要因素不是基数效应，而是我们现在看到的商品和能源价格的强劲。

我们的观点是，价格压力将是暂时的，需求将从商品转向服务，全球供应链可能会自我修复，许多商品价格随着时间的推移已经表现出均值回归的倾向。但是，这些压力在很大程度上仍然伴随着我们，而且我们相信会传导到零售价格，制造商的产出价格也仍然在快速上升。影响这些的其他因素还有，劳动力市场难题如何解决的不确定性，以及这些不确定性将如何影响就业和收入。值得注意的是，复苏正在减弱。很多事情都取决于供应能力如何有效重建，在什么时间内重建，以及劳动力市场如何演变。这些都是难题。

下面我想谈谈货币政策的制定。货币政策和财政政策一直独立但协调一致地运作，来提供渡过疫情的桥梁。我想补充的是金融体系的稳定性和宏观审慎政策的支持。

由于利率接近下限，我们不得不依靠资产购买来完成大量的工作。围绕量化宽松（下称QE）有很多争论，其中有些部分比其他部分更有根据，不过今晚我不打算详细讨论这个问题，我只想提出几个与当前背景有关的观点。首先，我们确实认为，在市场不稳定的情况下，QE的影响是最明显的，正如我们在去年3月看到的那样。第二，我们认为，QE的影响很大一部分来自最初宣布购买的资产存量，而不是随后的对资产的持续购买。本轮购买是在去年11月宣布的，当时由于疫情的影响，情况看起来不是很妙。

这就提出了一个相关的问题：在市场金融条件下，特别是在通胀率如日中天的时候，你从持续购买中得到什么？我认为的原因是，QE在稳定的条件下确实有影响，而且是一个重要的影响，不过由于我们认为目前的通胀上升是短暂的，我要强调问题的第二部分，我们对QE的持续作用的看法以我们8月份的预测为条件，即通胀在可接受的时间内恢复到目标状态。

QE运作的一个渠道是沿着曲线保持利率水平相对于其他情况下进一步下降。从这个意义上说，尽管其结果同样会体现在经济活动和通货膨胀中，传导机制与银行利率的变化是有点不同的。对于QE的所有噪音，对我而言最关键的是，它有助于在疫情期间保持公司的财务成本稳定，这对货币和金融稳定都非常重要。

QE还为我们在疫情开始时看到的那种市场波动和功能失调提供了保障。因此，如果发生此类事件，它有助于防止任何由流动性驱动的收益率上升，从而确保企业部门在这场危机中得到支持。尽管如此，当前的资产购买计划目前也将定于12月结束。

因此，如果我们需要对通货膨胀压力做出反应，货币政策应该涉及银行利率而不是QE。在这一点上，我们没有理由绕弯子。

货币政策委员会的任务是以维持增长和就业的方式制定货币政策，以达到通胀目标。考虑到货币政策的变化和对通货膨胀的影响之间的滞后性，职权范围明确指出，关注中期通货膨胀是合适的。正如我前面所讲到的，我们认为，有充分的理由说明目前高于目标的通胀将是暂时的。

理解造成更高通胀的冲击的本质也很重要。相对于需求的复苏，我们看到冲击正在限制经济中的供应。之所以重要，是因为货币政策不会增加半导体芯片的供应，不会增加风量，也不会产生更多的卡车司机。在这种情况下，收紧货币政策可能会使情况变得更糟，对本就已经疲软的经济复苏造成更大的下行压力。

重要的是，对未来通胀的预期是否以及如何应对这些供应冲击，从而传导到不断上升的通胀。最常谈论的机制是从更高的通胀预期，到公司觉得有能力提高价格和员工要求更高的工资，再到工资压力和更持久的通胀。这样一来，一些商品和服务价格水平的相对变化就会常态化，并变成持续的通货膨胀。我非常重视这种风险，在那种情况下，人们预计价格会进一步上涨，因此会寻求持有相对于收入而言的，较低的货币余额。但如果人们觉得价格上涨是暂时的和可逆的，他们会推迟支出，并持有相对于收入而言的，更高的货币余额，需求增长也会减弱。举个例子，二手车价格会保持高位吗？这完全取决于你对汽车的需求有多大。在现实中，有些价格水平可能会保持高位，有些可能不会。

货币政策不应对供应冲击做出反应，因为供应冲击不会通过其对通胀预期的影响而常态化。我们目前认为，供应冲击对通胀的影响往往是暂时的。但如果在我们的评估中不太可能出现这种情况，我们将介入并根据需要调整政策。

为了说明这种方法，让我简要总结一下我们在上周会议结束时发表的声明，指出当前存在的观点分歧，这非常合理。货币政策委员会强调，通胀目标始终适用，并明确关注通胀的中期前景而不是瞬时因素。在这样一个经济受到巨大冲击的时期，这种对中期前景的重点关注所要求的判断力尤为重要，也极具挑战性。

对于货币政策委员会的大多数成员来说，劳动力市场的前景是高度不确定的，在某种程度上可能在相当短的时间内得到解决，这证明在政策上采取等待和观察的方法是合理的，因为人们仍然相信较高的通货膨胀只是暂时现象。在这种观点下，一些成员更加强调GDP相对于疫情前水平的持续不足。而另一些成员则强调继续朝着缩小这一差距的方向前进，以及伴随着差距缩小而产生的成本压力。但所有这些成员都认为，为应对疫情而颁布的货币政策刺激措施需要在某个时候开始释放，这种释放应通过提高银行利率来实现。如果适当的话，这并不需要等到目前的资产购买计划结束。

另一种观点则更加看重目前的成本和价格上涨以及与之伴随的劳动力市场和产能压力的迹象，这将导致更持久的需求过剩和更高的通胀。此外，现在的政策变化将有助于确保中期通胀预期保持良好的稳定性。

从这些分歧中，我会得出一些重要的观点。货币政策委员会流程的优势在于，九个理智的人可能会有不同的理解，但这一切都是公开透明的。但是，我们所有人都认为，需要适度收紧政策，以符合在中期内可持续地实现通胀目标。最近的证据似乎加强了这种情况，但仍然存在很大的不确定性，我们正在密切监视局势。

正如我前面提到的，我们目前看到了工资结算的更大的分散性。如果这是经济中影响更深远的结构性变化的开始，改变了不同职业的相对薪酬，那会怎样？我不做任何预测，而只是在货币政策的背景下提出这个问题。首先要说明的是，这种变化确实会发生。自20世纪80年代以来，我们看到高收入者和低收入者之间的薪酬差距出现了结构性增长。我们还看到，在更长的时间内，退休年龄出现了更多的结构性变化。货币政策的工作不是防止这种变化，而是确保它们不会对货币稳定产生负面影响，例如通胀预期的失调。我们之所以有一个正的而非零的通胀目标，有一个重要原因是为了能让相对收入的这种变化在名义工资刚性降低的情况下发生。

我以引用Milton Friedman和Anna Schwartz开始这篇演讲，现在我会以同样的方式结束。他们强调需要将价格（或工资）水平的变化与变化率的持续增加区分开来。做出这种区分是我们会在未来一段时间内处理的一个关键问题。当然，由于它涉及到对未来的预测，对政策制定者来说，这项任务并不容易。

综上所述，这恐怕会是一段艰难的行程，我们一定要坚持完成任务。

（完）

点此可以查看原文。

本文为个人翻译，欢迎与我联系以指出错误和疏漏。

黑田东彦

日本银行（日本中央银行）总裁黑田东彦于2021年9月27日在与大阪商业界代表会晤时发表了讲话。

归纳要点如下：

1. 海外经济的复苏带动日本国内的经济复苏，世界贸易总额稳步上升
2. 在IT产品和资本货物的带动下，日本的出口呈增长态势，企业利润也在改善
3. 德尔塔毒株的流行使消费陷入停滞，给经济复苏带来不确定性
4. 在政府措施和银行融资措施的支持下，失业和破产暂时得到遏制，消费复苏取决于新冠疫情流行的进程
5. 疫情严重影响了全球供应链，由于供应链紧张，企业生产和出口增速会暂时放缓，但是长期趋势依旧是乐观的
6. CPI同比增长为0%，价格疲软是因为日本通胀预期形成的主要适应机制
7. 日本国内需求增长相较于美国和欧洲没有那么大，就业水平也相对稳定，即使需求上升，企业依旧有足够的空间来适当增大产量和发货量，并保持价格不变
8. 相较于美国和欧洲，日本生产者更倾向于减少利润率来吸收成本的增长
9. 即使通胀水平逐步增长到2023年，也基本不会达到2%的目标，会继续坚持宽松的货币政策

点此可以查看原文。

Elvira Nabiullina

俄罗斯银行（俄罗斯联邦中央银行）行长Elvira Nabiullina于2021年9月22日在俄罗斯联邦委员会上发表了讲话。

归纳要点如下：

1. 经济已经开始复苏，但是劳动力和原料的紧张继续推高通胀
2. 维持紧缩的货币政策，控制通胀预期，稳定联邦债券的长期利率
3. 关键利率的调整需要先于通胀预期的上升
4. 受较高的通胀预期影响，无担保贷款的发放速度加快，消费贷款的标准正在恶化，可能会引发系统性风险
5. 需要修订法律，限制银行的高风险消费贷款，堵住监管漏洞
6. 继续推进数字卢布
7. 银行业需要加强对气候变化的支持

点此可以查看原文。

Data and Curves

在日常的经济生活中，我们一般会率先且直观地感受我们身边的微观的经济现象，这些微观现象给我们留下深刻印象，塑造着我们的认识，并引导我们的经济决策。而与此同时，很多宏观的经济活动在日常生活中却很少被提及。

这些活动可能一时难以在个人层面感受，但是或超前或滞后地表示了经济的运行情况，并且或长期或短期地暗示了未来经济的运行趋势。

对长期主义者而言，这些现象值得关注，并且需要被认真解读。

这有利于我们把握长时间内经济运行的基本面，进而帮助我们制定长时间的经济策略。

Middle Huaxia Road Station

2020年行将结束，就此记念一下。

居家

为了满足经常回家的期望，当时选择了在本地的学校就读，出乎意料，在这一年这一期望以一种不被期望的方式得到了超额的满足。

因为突如其来的公共卫生事件，居家自肃了将近半年。逐渐从每天查阅新闻的焦虑中释放出来以后，便开始寻找事情来打发时间。

于是，开始自己试着做吃的喝的，开始创作以前仅仅存在于自己脑海中的想法，买游戏也花了不少钱。

小奶锅小砂锅还有烤箱的使用频率高了不少，关注了不少关于烹饪教程的微信公众号，第一次自己做了奶茶，家里的大把茶叶也有了新的消耗法。

居家自肃期间做了一个数值计算小工具，对于这个作品，后面也有了不少的想法，然而大多数目前也仅仅存在于想法之中，希望能把更多语言的支持给补充上。

游玩了不少优秀的游戏作品，也能够补完之前搁置的游戏进程。在这个特殊的时期，游戏作为一个特别的媒介，它也给予了我无与伦比的沉浸感。

侧颜

平时在客厅里学习的时候听一听Spotify，或者抽时间看一看蓝光光碟，体验也非常好。

Spotify and Me

半年几乎没有什么社交活动，但倒也觉得过的很滋润。

在交通工具上

公共卫生情况逐渐好转，我也开始试着出门走走，不可避免地使用了交通工具。

我喜欢能把人连接起来的物事，交通工具就是其中之一。信息在地铁电视里缓慢流动，人们戴着口罩行色匆匆，无人值守的机器，配合张贴在各处的公告和警示标语，有着令人沉迷的特别氛围。

一直很喜欢看各种广告，标语，新闻还有特别公告，就像下面这样。

Notice

如何能把自己所想表达的，尽量克制地含蓄地传达出去，是一个有趣的话题。

期望

2021年底的研究生招生考试被慢慢提上日程，目前也在按计划推进当中，希望能够顺利。

基本方针依然是保持谨慎乐观，适当做出妥协。

也希望能多走走，寻找与发现更多能触动我，引发我思考的事物。

最后，还是希望疫情早日结束，由于疫情确实错失了不少。

谨贺新年。

2020年12月31日

大柏树

受到WIMS的启发，我一直想做一个方便的在线数学工具。近日时间正好上有一定的余裕，因此为这个工具添加了几个简单的小模块。

Mizunashi’s MathTool是一个小工具，旨在帮助用户更方便地使用数学方法解决问题以提高效率。

由于没有闲钱购买服务器，也没有精力维护服务器，这个工具被设计成完全基于前端的，即执行计算任务的源代码只会在客户机的浏览器上运行。

目前网站被托管在GitHub Pages上，地址为https://mathtool.mizunashi.me/zh-cn/，请务必使用功能完备的现代浏览器(如Chrome和Firefox)访问。网站也提供英文服务。

欢迎对这个软件进行评估，也欢迎通过电子邮件或者其它方式向我提交反馈。

可用功能

目前支持以下可用功能：

• 数值微积分
• 插值
• 常微分方程数值解
• 函数图像
• 线性方程组
• Bezout

以后可能也会对功能进行扩展。

源代码

目前源代码被托管在这里，并使用一定的许可协议分发。

其它

Mizunashi’s MathTool使用了一些开源软件，你可以在这里看到它们的使用情况。

应用纳维-斯托克斯方程对导管中的气流进行模拟

如有疏漏，敬请指正。

对于一个常微分方程(ODE)

只有一些特殊形式的$f(x,y)$，才可以求它的解析解。对于大多数常微分方程的初值问题，只可以计算其数值解。

对区间$[a,b]$进行一个剖分，确定点列$\lbrace x_n,n=1,2, \cdots ,m \rbrace$，使用函数在这一组点列上的函数值$\lbrace y(x_n), n=1,2, \cdots ,m \rbrace$描述$y(x)$，求解$y(x_n)$的数值方法，是为有限差分方法。

约定$y(x_n)$是常微分方程准确解的值，$y_n$是$y(x_n)$的近似值。把区间分割为小区间的形式，称为数值离散方法。

除了有限差分方法外，有限元方法与有限体积方法也可以求解ODE的数值解。

欧拉公式

欧拉方法的图示，待求的曲线为蓝色，它的折线近似为红色。

对区间$[a,b]$进行等距剖分，记步长$h=\frac{b-a}{m}$，那么$\lbrace x_n=a+nh,n=0,1, \cdots ,m \rbrace$。可以使用差商近似导数来求解ODE。

• 向前差商
  作出$y’(x)$在$x=x_n$处的一阶向前差商 $$y'(x_n) \approx \frac{y(x_{n+1})-y(x_n)}{h}$$ 而由微分方程可得 $$y'(x_n)=f(x_n,y(x_n))$$ 这样就可以得到计算$y_{n+1}$的向前欧拉公式 $$y_{n+1}=y_n+hf(x_n,y_n)$$ 不难发现，向前欧拉公式是一个显式求解格式。
• 向后差商
  作出$y’(x)$在$x=x_{n+1}$处的一阶向后差商 $$y'(x_{n+1}) \approx \frac{y(x_{n+1})-y(x_n)}{h}$$ 又因为$y’(x_{n+1})=f(x_{n+1},y(x_{n+1}))$，得到向后欧拉公式 $$y_{n+1}=y_n+hf(x_{n+1},y_{n+1})$$ 不难发现，这是一个隐式求解格式。设$f(x,y)$对$y$满足Lipschitz条件，那么可以使用Picard格式求解向后欧拉公式。在实务中，一般先用显式格式先算出初始值，再用隐式公式进行进一步的迭代。这样的过程被称为预估-校正过程。向后欧拉公式的预估-校正式如下所示： $$\begin{cases}\bar{y}_{n+1}=y_n+hf(x_n,y_n) \\y_{n+1}=y_n+hf(x_{n+1},\bar{y}_{n+1}) \\\end{cases}$$
• 中心差商
  类似前面的方法，可得中心差商式为 $$y_{n+1}=y_{n-1}+2hf(x_n,y_n)$$ 这不是一个稳定的格式，因此在实务中不予采用。

欧拉公式的局部截断误差

对$y(x_{n+1})$在$x_n$进行泰勒展开

不难发现局部截断误差是

欧拉公式的改进

对于方程$\frac{\mathbf{d}y}{\mathbf{d}x}=f(x,y)$在区间$[x_n,x_{n+1}]$上进行积分再移项

取梯形公式计算数值积分

得到梯形公式

使用显式欧拉公式与梯形公式组成预估-校正公式

这被称为改进的欧拉公式。

Runge-Kutta方法

在二阶Runge-Kutta方法中，使用$f(x,y)$在点$(x_n,y(x_n))$以及其附近的点$(x_n+ah,y(x_n)+bhf(x_n,y(x_n)))$上的值的线性组合得到数值公式

这时，需要满足

不难看出，这个方程组有无数多组解。

一个比较常用的二阶Runge-Kutta公式为

一个比较常用的三阶Runge-Kutta公式为

一个比较常用的四阶Runge-Kutta公式为

Runge-Kutta方法是一个在工程中应用很广泛的算法。

线性多步法

对于方程$\frac{\mathbf{d}y}{\mathbf{d}x}=f(x,y)$在区间$[x_{n-p},x_{n+1}]$上进行积分得

使用数值积分进行近似，从而构造线性多步格式。

如果使用积分节点$\lbrace x_n,x_{n-1}, \cdots ,x_{n-q} \rbrace$进行近似计算(详见插值型数值积分)，那么这就是一个显式求解格式。如果积分节点是$\lbrace x_{n+1},x_n,x_{n-1}, \cdots ,x_{n+1-q} \rbrace$，那么这就是一个隐式求解格式。

把$p=0$的格式称为Adams公式。

常微分方程组的数值解法

对于一个常微分方程组，可以把解常微分方程的各种方法平行地应用到方程组的求解中。

例如，对于下面一个方程组

其改进的欧拉公式为

高阶常微分方程的数值方法

对于高阶常微分方程，可以将其转换为一阶常微分方程组。

考虑一个二阶常微分方程

可以将其转换为

对于更高阶的方程，也可以进行类似的转换。

特征值与特征向量的图解

如有疏漏，敬请指正。

幂法

在很多情况下，我们需要计算矩阵的按模最大特征值。幂法是计算按模最大特征值及其特征向量的数值方法。

任取初始向量$X^{(0)}$，进行迭代计算

得到的迭代序列$\lbrace X^{(k)} \rbrace$，分析$X^{(k+1)}$与$X^{(k)}$之间的关系，就可以得到$A$的按模最大特征值及其特征向量的近似解。

在计算机运算的过程中，如果$X^{(k)}$的某个分量过大或者过小，都有可能导致运算失败。因此在实际计算中通常采用规范运算格式，规范运算可以按下面公式进行

这样就可以保证$Y^{(k)}$的按模最大分量的值保持1或者-1。

规范运算的迭代序列一般有如下几种情况：

• 如果$\lbrace X^{(k)} \rbrace$收敛，那么$A$的按模最大特征值只有一个，且$\lambda_1>0$，对于充分大的$k$，按模最大分量$x_j^{(k)}$不变号，对应的$|y_j^{(k)}|=1, \lambda_1 \approx |x_j^{(k+1)}|$，即 $$\lambda_1 \approx \max_{1 \leq i \leq n} |x_i^{(k+1)}|=|x_j^{(k+1)}|$$ 相应的特征向量是$v_1 \approx Y^{(k)}$
• 如果$\lbrace X^{(2k)} \rbrace, \lbrace X^{(2k+1)} \rbrace$分别收敛于互为反号的向量，那么按模最大的特征值也仅有一个单实根，且$\lambda_1 <0$，即 $$\lambda_1 \approx -\max_{1 \leq i \leq n} |x_i^{(k)}|=-|x_j^{(k)}|$$ 相应的特征向量是$v_1 \approx Y^{(k)}$
• 如果$\lbrace X^{(2k)} \rbrace, \lbrace X^{(2k+1)} \rbrace$分别收敛于两个不同的向量，那么按模最大的特征值有两个，它们是互为反号的一对实根。再做一次非规范的运算$X^{(k+1)}=AX^{(k)}$，则有 $$\lambda_1 \approx \sqrt{x_i^{(k+1)}/y_i^{(k-1)}},\lambda_2=-\lambda_1$$ 特征向量分别为 $$\begin{cases}V_1=X^{(k+1)}+\lambda_1X^{(k)} \\V_2=X^{(k+1)}-\lambda_1X^{(k)}\end{cases}$$
• 迭代序列没有一定的规律，需要另行讨论

通过原点位移的幂法可能会加速迭代。矩阵$B=A-pI$的特征值与矩阵$A$的特征值分别为$\lambda$与$\lambda-p$，通过计算矩阵$A-pI$的特征值得到矩阵$A$的特征值的方法称为原点位移法。

如果取得的$p$满足

那么对矩阵$B$的幂法，收敛会比$A$的幂法快。选取有效的$p$需要大致了解该矩阵的特征值分布。

反幂法

反幂法是计算按模最小特征值及其特征向量的数值方法。

不难证明，$A^{-1}$的按模最大特征值是$A$的按模最小特征值的倒数。使用幂法计算$A^{-1}$的按模最大特征值从而得到$A$的按模最小特征值的方法，称为反幂法。反幂法的规范迭代格式如下：

在实务中，一般不会计算$A$的逆矩阵。而是求解线性方程组$AX^{(k+1)}=Y^{(k)}$，从而求得$X^{(k+1)}$，因此迭代格式可以改写如下：

如果想求解最接近$p$的特征值$\lambda_i$，那么可以用带原点位移的反幂法

计算得到特征值$\mu$，那么$\lambda_i=p+\frac{1}{\mu}$，这是一个非常不错的性质。

QR方法初步

QR方法能够有效的计算中小型矩阵的特征值与特征向量。

对于n阶矩阵$Q$，若满足$QQ^T=I$，那么称$Q$为正交矩阵，具有如下性质：

• $|\det Q|=1$
• 若$Q_1,Q_2$为正交阵，那么$Q=Q_1Q_2$也是正交矩阵

如果A为n阶实矩阵，那么存在正交矩阵$Q$，上三角矩阵$R$，使得

将$A$这样分解的过程被称为QR分解。

$A$为给定的n阶实矩阵，令$A_1=A$，对$A_1$作QR分解$A_1=Q_1R_1$。然后，对$A_2=R_1Q_1$作QR分解$A_2=Q_2R_2$，记$A_3=R_2Q_2$。一直进行下去，可以得到n阶矩阵序列$\lbrace A_k \rbrace$，满足：

• $\lbrace A_k \rbrace$为相似正交矩阵序列
• 记$A_k$的元素$(a_{ij}^{(k)})_{n \times n}$，若$A$满足一定的条件，则有 $$a_{ij}^{(k)} \to 0,k \to \infty, 1 \leq i < j \leq n$$ $$a_{ii}^{(k)} \to \lambda_i,k \to \infty,i=1,2, \cdots ,n$$ $\lambda_i$就是$A$的特征值。

利用矩阵的QR分解得到特征值的方法称为QR方法。有多种方法可以进行QR分解，例如施密特正交化与Householder变换。

Longyang Road Station

如果不看日历的话，似乎还不会意识到今年就要这么过去了。虽然没有什么令我印象特别深刻的事，但还是要记录一下，要不然怕是真就忘了。

猫猫与数学建模

在数学建模比赛以后，几乎每周都要去岛上看猫。那片区域对人友好的猫有两只，一只橘白相间，看到人喜欢喵喵叫，如果摸它的头的话，眼睛会眯起来。

橘猫

还有一只喜欢坐在长椅上的狸花，每次吃肉干的时候总会跳到我腿上来。

狸花猫

至于为什么要在建模比赛以后去看猫，我也不清楚。

既然谈到了数学建模，那还是提一下吧。今年总共参加了两次这种比赛，一次是校内热身赛，还有一次是高教社杯全国大学生数学建模竞赛。

校内热身赛我们选的题目是建立模型对风暴潮进行正压潮和内潮的分离，这是一个物理海洋学问题。最后还是尽力地把论文(范丽丽.风暴潮数值同化研究和高度计资料拟合方法研究.中国海洋大学,2011.)中的方法复现了一遍，复现的效果也只能说是一般。当然，最后也没得什么奖。

数学建模国赛我们选择的问题是高压油管的压力控制，也可以算是一个物理建模题。比赛当中甚至还出现了把$P$看$\rho$这种我也不知道该怎么说的错，只能把模型推倒重建，令我意外的是最后居然还拿了一个小奖。

不过，高压油管可以看成是一个Nonlinear System，这让我很着迷。如果有空的话，还是想再模拟一下。

总之，这种比赛还是很有意思，也让我很受益，以后应该还是会再参加几次。

摸了，咕了，忘了

今年也没去什么特别远的地方，最远的地方也没出江苏省和浙江省。也实在想不起来要去哪里，因为哪里也不想去；也实在不知道要买什么，因为什么也不想买，所以还是摸了。来年假期本有去交流学习的计划，但还是咕了，因为研究生也不想去海外读，我也不想做人工智能和大数据。一年间应该还有很多心血来潮的计划，但终究是忘了。

要说学的印象最深的课程，那就是《信号与系统》，虽然只是变换来变换去，但确实很有意思。

一年的学习也没能带来什么成就感，却一直都会觉得自己数理基础极其薄弱。还愈发觉得要学习与研究的东西不会见底，也终究会遇到自己搞不定的东西。

既然迟早会遇到自己搞不定的东西，为什么不去考虑更加fundamental的问题呢？

大概就是这样。

当然，学习还是一件很快乐的事情。

相对而言比较遗憾的是，没能在冬至之前去苏州买冬酿酒，以及还是没能去成上海市青浦区的金泽镇，只能等以后有空。

新一年的计划

一般而言，我并不会对两个星期以后的事情做什么详细的计划，计划往往是模糊的不能再模糊。原因是就算计划再详细，到最后还是计划赶不上变化，所以最后还是摸了。

大概在11月份的时候吧，自己心血来潮开始了一个在线数值计算工具的小项目。如果在当前这个时间点，真的要说有什么计划的话，就是能把这个工具的功能再增加一点完善一点，顺便能再翻译一个日文版本。

至于最后能做成什么样子，只能说是做成什么样子，就什么样子吧。

最后，还是希望明年能够稳稳当当顺顺利利。

不同p-范数下的单位球面

如有疏漏，敬请指正。

迭代法求解线性方程组$Ax=b$和不动点迭代求解非线性方程组很类似，拆分$A=N-P$，设$N$可逆，则有

令$M=N^{-1}P,g=N^{-1}b,X=MX+g$，构造迭代关系式

称$M$为迭代矩阵。

若迭代序列$\lbrace X^{(k)} \rbrace$收敛，设$\lbrace X^{(k-1)} \rbrace$的极限是$X^{\ast}$，可得

$X^{\ast}$是方程组$Ax=b$的解，此时称迭代法收敛，否则称迭代法发散。

计算中，给定控制精度$\epsilon$，当$||Ax-b||< \epsilon$或者$||X^{(k)}-X^{(k-1)}||< \epsilon$时，停止迭代计算，取$X^{\ast}=X^{(k)}$。

由线性代数知识可知，$\lim_{k \to \infty}M^k = O$的充要条件是谱半径$\rho(M)<1$。如果$||M||_p$是矩阵$M$的范数，则总有$||M||_p \geq \rho(M)$。因此若$||M||_{p} < 1$，那么$M$必收敛，这是其充分条件。

可以看出，线性方程组的迭代收敛与否完全取决于迭代矩阵的性质，与迭代初始值的选取无关。

雅可比迭代法

对于n元线性方程组$Ax=b$

设$\lbrace a_{ii} \neq 0,i=1,2, \cdots ,n \rbrace$，将上式中每个方程组$a_{ii}x_i$留在方程的左边，其余各项移到方程的右边，方程两边除以$a_{ii}$，构造迭代格式

以上迭代计算式称为简单迭代或雅可比迭代，初始向量可以任取。

雅可比迭代矩阵

令

得到等价方程组

设$D$可逆，有

令

则有

称$R$为雅可比迭代矩阵。

雅可比迭代的收敛条件

当迭代矩阵$R$的谱半径$\rho (R)=\max_{1 \leq i \leq n} \mid \lambda_i \mid < 1$时，迭代收敛，这是其充要条件。

迭代矩阵的某范数$|| R || < 1$时，迭代收敛，这是其充分条件。

设$M=(m_{ij})$是n阶复方阵，若对任意$i$都有$|m_{ii}| \geq \sum_{j \neq i}|m_{ij}|$，则$M$为行对角优，若有$|m_{ii}| > \sum_{j \neq i}|m_{ij}|$，则$M$为严格行对角优。同样的，若对任意$j$都有$|m_{jj}| \geq \sum_{i \neq j}|m_{ij}|$，则$M$为列对角优，若有$|m_{jj}| > \sum_{i \neq j}|m_{ij}|$，则$M$为严格列对角优。

对于雅可比迭代的收敛性，有以下理论结果

• 若$M$为严格对角优，则$M$可逆
• 当$A$为严格对角优时，雅可比迭代收敛

Gauss-Seidel迭代

在雅可比迭代中，已经在计算$x_i^{(k+1)}$前得到了$x_1^{(k+1)}, \cdots , x_{i-1}^{(k+1)}$的值，因此，不妨将已经算出的分量直接代入迭代式中，及时使用最新计算出的分量值，这被称为Gauss-Seidel迭代。

即使用$\lbrace x_1^{(k)},x_2^{(k)}, \cdots ,x_n^{(k)} \rbrace$计算$x_1^{(k+1)}$的值，用$\lbrace x_1^{(k+1)},x_2^{(k)}, \cdots ,x_n^{(k)} \rbrace$计算$x_2^{(k+1)}$的值，一直进行下去，直到计算出$x_n^{(k+1)}$。

构造迭代格式如下：

Gauss-Seidel迭代矩阵

设$A=D+L+U$，有

构造迭代格式

有

令
$S=-(D+L)^{-1}U,f=(D+L)^{-1}b$
那么有

称$S$为Gauss-Seidel迭代矩阵。

Gauss-Seidel迭代的收敛条件

关于Gauss-Seidel迭代的收敛条件，有如下结论：

• 当$A$严格对角优时，Gauss-Seidel迭代收敛
• 当$A$正定时，Gauss-Seidel迭代收敛

松弛迭代

设$A=D+L+U$，用矩阵表示Gauss-Seidel迭代形式为

令

那么Gauss-Seidel迭代的计算公式为

对$X^{(k)}$和Gauss-Seidel迭代计算的$X^{(k+1)}$加权平均，得到的迭代格式为松弛迭代，$\omega$为松弛因子。

松弛迭代的迭代格式如下：

其中，$r_{ij}=-\frac{a_{ij}}{a_{ii}},g_i=\frac{b_i}{a_{ii}},r_{ii}=0$

松弛迭代矩阵

令

则松弛因子为$\omega$的迭代矩阵为

三变量的线性系统确定的一组平面

如有疏漏，敬请指正。

对于一个线性方程组，可表示为如下形式

其中，$A$被称为系数矩阵，$x$是解向量，$b$是系数向量。当且仅当$A$是一个可逆方阵时，线性方程组存在唯一的解。

尽管克莱姆法则给出了线性方程组的公式解，但是由于其运算量过大，不适合在实务中应用。

线性方程组的解法分为直接解法与迭代解法，直接解法没有系统误差，但是对计算机硬件的要求较高。

高斯顺序消元法

高斯消元法的基本思路是通过矩阵的初等变换，把方程组变换为上三角方程组，然后再回代求解。

还有一个算法是Gauss-Jordan消元法，这个方法把线性方程组变换为对角形方程组，直接求解得出结果。

高斯列主元消元法

以下三个命题等价：

• 高斯消元过程可以顺利进行
• 矩阵存在LU分解
• 矩阵的各阶顺序主子式均不为0

而我们已经知道，只要$\mathrm{det} A \neq 0$，方程组$Ax=b$就有解，这揭示了高斯顺序消元法的一部分局限性。

此外，即使高斯消元法能够进行，如果$| a_{kk}^{(k-1)} |$很小，在运算中作分母时会导致数量级的增长和舍入误差的扩散。

解决这个问题的方法是对矩阵作初等变换，使得在运算中作分母的量的绝对值尽可能大。如果在一列中选择按模最大的元素，并将其调到主干方程位置再进行消元，这种方法称为列主元消元法。

对于每一个$k,k=1,2, \cdots ,n-1$，在消元之前选出$\mid a_{kk}^{(k-1)} \mid , \mid a_{k+1,k}^{(k-1)} \mid , \cdots ,\mid a_{nk}^{(k-1)} \mid$中的值最大的元素$a_{mk}^{(k-1)}$，对k行和m行进行交换以后，再进行消元运算。由于$\det A \neq 0$，可证$a_{kk}^{(k-1)},a_{k+1,k}^{(k-1)}, \cdots ,a_{nk}^{(k-1)}$中至少有一个元素不为零，因此列主元消元法总是可行的。

LU分解法

在用直接分解法解方程$Ax=b$时，首先做出分解$A=LU$，那么线性方程组$Ax=b$可以转化为线性方程组$Ly=b$和$Ux=y$，分解以后再求解方程组只要$O(n^2)$的运算量即可解出$x$。

LU分解有多种形式。设$A=LU$，其中L是下三角方阵，U是单位上三角方阵，是为Crout分解，可以看作是$A^T$的Doolittle分解。

当A是正定实方阵时，$A=LDL^T$，其中$L$是单位下三角方阵，$D$是对角方阵，这种分解通常称为$LDL^T$分解。

Doolittle分解

设A的各阶主子式不为零，$A=LU$，其中L是单位下三角阵，U为上三角阵。

Doolittle分解可以按照如下顺序进行

• 计算U的第一行元素，$u_{1j}=a_{1j},j=1,2, \cdots ,n$
• 计算L的第一列元素，$l_{i1}=\frac{a_{i1}}{u_{11}},i=2,3, \cdots ,n$
• 计算U的第k行元素，$u_{kj}=a_{kj}-\sum_{r=1}^{k-1}l_{kr}u_{rj},j=k,k+1, \cdots ,n$
• 计算L的第k列元素，$l_{ik}=\frac{\left( a_{ik}-\sum_{r=1}^{k-1}l_{ir}u_{rk} \right)}{u_{kk}},i=k+1,k+2, \cdots ,n$

Crout分解

矩阵$A=LU$的Crout分解形式为

其中，$L_{k}$的分量形式为

$U_k$的分量形式为为

求解特殊线性方程组的方法

追赶法

形如

的矩阵称为三对角矩阵，追赶法可以用于求解此类方程组。

容易验证L,U具有如下形式

比较$A=LU$两边元素，可得到$w_i=c_i,i=2,3, \cdots ,n$

若规定$c_1=0$，可得到三角阵分解的计算公式

其中$k=1,2, \cdots ,n$

再解线性方程组$Ly=f,Ux=y$

设

以上方法被称为追赶法。

$LDL^T$分解

对于对称正定矩阵，常用的方法是$LDL^T$分解。

对$A$作$LDL^T$分解可得

进行$LDL^T$分解的步骤如下所示

有$(LDL^T)X=b$，解方程组$Ax=b$可分三步完成

• 解方程组$Lz=b$
• 解方程组$Dy=z$
• 解方程组$L^Tx=y$

不动点迭代

如有疏漏，敬请指正。

对于非线性方程，我们往往可以通过迭代法计算其近似数值解。由于非线性方程的根一般不止一个。因此在求解非线性方程时，要给定初始值或求解范围。

二分迭代

二分迭代是一个很简单直观的非线性方程求解算法，其理论基础是介值定理，即设函数$f(x)$在$[a,b]$上连续，且$f(a)f(b)<0$，则$f(x)$在$[a,b]$上至少有一个零点。在计算中，可以通过对分区间，缩小区间范围来搜索零点。

在实务中，常用$sgn(f(a)) \cdot sgn(f(x))>0$替代$f(a) \cdot f(x)>0$，以避免数值溢出。

对分法算法较为简单，但是需要注意的是，即使$f(x)$在$[a,b]$上有零点，也未必有$f(a)f(b)<0$，这限制了对分法的使用范围。

不动点迭代法

对于给定的方程$f(x)=0$，可以将其转化为等价形式$x=\varphi (x)$。给定初值$x_0$，由此构造迭代序列$x_{k+1}=\varphi(x_k),k=1,2, \cdots$，若$\varphi(x)$连续且迭代收敛，即

则有$\alpha = \varphi (\alpha)$，而$\alpha$就是方程$f(x)=0$的根。

若$\varphi$定义在$[a,b]$上，如果$\varphi$满足

• 当$x \in [a,b]$时有$a \leq \varphi(x) \leq b$
• $\varphi (x)$在$[a,b]$上可导，且存在正数$L<1$，使得对任意的$x \in [a,b]$，有$| \varphi’(x) | \leq L$

则在$[a,b]$上有唯一的点$x^{\ast}$满足$x^*=\varphi(x^{\ast})$，称$x^{\ast}$为$\varphi(x)$的不动点。迭代格式$x_{k+1}=\varphi(x_k)$对任意初值$x_0 \in [a,b]$均收敛于$x^{\ast}$，误差估计式为

构造收敛迭代格式，有两个要素：

• 等价形式$x=\varphi (x)$应该满足$| \varphi’(x^{\ast}) |<1$
• 初值必须取自$x^{\ast}$的充分小邻域，这个邻域大小决定于函数$f(x)$以及等价形式$x = \varphi (x)$

牛顿迭代

牛顿迭代是一种常用的不动点迭代方式。

首先，对$f(x)$在$x_0$进行泰勒展开，有

取上式线性部分作为$f(x) \approx 0$的近似值，有

其中我们设$f’(x_0) \neq 0$。

一直迭代下去，可得

对应于$f(x)=0$的Newton迭代方程是$\varphi (x)=x-\frac{f(x)}{f’(x)}$

若$\alpha$是$f(x)$的单根，有$| \varphi ‘(\alpha) |=0$，且只要初值$x_0$充分接近$\alpha$，就有$| \varphi ‘(x_0) |<1$，牛顿迭代收敛。

如果存在$M>0$，使得

那么记迭代收敛的阶为n。

分析可知，牛顿迭代是二阶迭代方法。

若$\alpha$是$f(x)$的p重根，以下迭代格式是二阶方法

牛顿迭代格式的收敛与否和初始值密切相关，当初始值在某根附近时迭代才能收敛到这个根。

如果方程没有实数根，那么迭代也不收敛。

弦截法

在牛顿迭代格式中，用差商替代导数，并且给定两个初始值$x_0$和$x_1$，得到弦截法的迭代格式：

使用这个方法迭代求根，每次只需计算一次函数值，但这个方法的迭代速度慢于牛顿迭代法。

弦截法为1.618阶迭代方法。

Google Doodles in memory of Akaike Hirotugu(赤池弘次), a Japanese statistician

如有疏漏，敬请指正。

如果一组数据点含有噪声或误差，无法同时满足某个特定函数，那么只能要求逼近函数尽量靠近数据点。按照误差最小的原则构造的逼近函数称为拟合函数。

误差可以用各种向量范数来定义

特别地，定义

为误差平方和，使误差平方和最小的方法称为最小二乘法。

最小二乘法的思想不仅可用于离散函数的拟合，也可用于连续函数的逼近。

多项式拟合

给定一组数据$\lbrace (x_i,y_i),i=1,2, \cdots ,m \rbrace$，当拟合函数$\varphi(x)$形如$a_0+a_1x+ \cdots +a_nx^n$时，拟合称为n次多项式拟合，即求$\alpha=(a_0,a_1, \cdots ,a_n)$使得

达到最小。

令最小值点$\alpha$满足

其中$j=0,1, \cdots ,n$

整理得多项式拟合的法方程

这个方程的系数矩阵显然是对称的，此外还是半正定的。这个线性方程组也对任意$y_1,y_2, \cdots ,y_m$都有解。

在实际应用中，特别是进行高次多项式拟合时，系数矩阵很有可能是病态的，因此需要使用一些专门算法保证解的稳定性。

多项式拟合的方法可以推广到其它类型的函数拟合。

例如，对一组数据点作形如$\varphi (x)=ab^x$的函数拟合时，可以对数据作预处理，进行形如$ln \varphi(x) =lna+x lnb$的线性拟合，然后再求出a与b。

同样地，当进行双曲函数拟合$\varphi(x) =\frac{1}{a+bx}$时，不妨令

如果进行有理函数拟合$\varphi(x)=\frac{a_0+a_1x+ \cdots +a_px^p}{1+b_1x+ \cdots +b_qx^q}$，则需要令

预处理的目的是提高求解效率，但是也有可能会降低求解精度。

矛盾方程组

给定一组数据$\lbrace (x_i,y_i),i=1,2, \cdots ,m \rbrace$，假设拟合函数有

的形式，其中$\varphi_i(x),1 \leq i \leq n$是已知参数，$\alpha_i ,1 \leq i \leq n$是未知参数。
令

那么误差平方和

这样拟合问题就可以转化为：已知矩阵$A \in \mathbb{R}^{m \times n}$和向量$Y \in \mathbb{R}^m$，求向量$\alpha \in \mathbb{R}^n$使得$||A \alpha -Y||_2$最小。

当线性方程组$A \alpha=Y$有解$\alpha$时，拟合函数$\varphi(x)$经过所有数据点。无解时，称为矛盾方程组，使得$||A \alpha -Y||_2$最小当$\alpha$称为这个矛盾方程组的最小二乘解。

如果给定矩阵$A \in \mathbb{R}^{m \times n}$和向量$Y \in \mathbb{R}^m$，那么

• $\mathrm{rank} A^T A= \mathrm{rank} A^T$
• 线性方程组$A^T A \alpha = A^T Y$恒有解$\alpha$
• $||A \alpha -Y||_2$最小，当且仅当$A^T A \alpha = A^T Y$
• 使$||A \alpha -Y||_2$最小的$\alpha$是唯一的，当且仅当$\mathrm{rank}A=n$

线性方程组$A^T A \alpha = A^T Y$称为矛盾方程组$A \alpha =Y$的法方程。

通常情况下，若$m>>n$且$\mathrm{rank} A=n$，那么$A^T A$是正定的，矛盾方程组有唯一的最小二乘解。而有时$A^T A$是近似奇异的，这说明$\varphi_i(x),1 \leq i \leq n$之间存在一定的相关性，需要修改拟合函数$\varphi(x)$的形式。

如果重新考察多项式拟合问题的话，可以发现多项式拟合的过程与解矛盾方程组的过程本质上是一致的。