适用教材:A First Course in Abstract Algebra
如有疏漏,敬请指正

交换环

一个交换环$R$是一个集合,这个集合配备了两个运算$+$和$\cdot$,且满足如下性质:

  • 对所有$a,b \in R$,有$a+b=b+a$
  • 对所有$a,b,c \in R$,有$a+(b+c)=(a+b)+c$
  • 存在元素$0 \in R$,使得对所有$a \in R$,有$0+a=a$
  • 对每一个$a \in R$,都有$a’ \in R$使得$a’+a=0$(即$(R,+)$是一个阿贝尔群)
  • 对所有$a,b \in R$,有$a \cdot b=b \cdot a$
  • 对所有$a,b,c \in R$,有$a \cdot (b \cdot c)=(a \cdot b) \cdot c$
  • 存在元素$1 \in R$,使得对每一个$a \in R$,都有$1 \cdot a=a$
  • 对所有$a,b,c \in R$,都有$a \cdot (b+c) = a \cdot b+a \cdot c$

性质

  • 对每一个$a \in R$,有$0 \cdot a=0$
  • 若$-a$满足$-a+a=0$,那么$(-1) \cdot (-a) = a$
  • 对每一个$a \in R$,有$(-1) \cdot a =-a$
  • 对所有$a,b \in R$,定义$a-b = a+(-b)$

一个环$R$是一个集合,这个集合配备了两个运算$+$和$\cdot$,且满足如下性质:

  • $(R,+)$是一个阿贝尔群,且运算$+$的单位元是$0$
  • 对所有$a,b,c \in R$,都有$a \cdot (b+c) = a \cdot b+a \cdot c,(b+c) \cdot a=b \cdot a+c \cdot a$
  • $(R, \cdot )$满足结合律(但不一定可交换)

适用于交换环的二项式定理

若$a,b \in R$,且$R$一个交换环,对所有$n \geq 0$,有

注意:$C^{r}_{n} a^{r} b^{n-r}$指$a^{r} b^{n-r}$进行加运算$C^{r}_{n}$次

零环与整环

定义交换环$R$为零环,满足如下性质

定义交换环$R$为整环,满足如下性质

  • $1 \neq 0$
  • 若$c \cdot a=c \cdot b$,且$c \neq 0$,则$a=b$(消去律)

定理:交换环$R$是整环当且仅当其不是零环,且$R$中任何两个非零元素的乘积是非零的

子环

交换环$R$的子集$S$是$R$的子环,满足如下性质:

  • $1 \in S$
  • 若$a,b \in S$,那么$a-b \in S$
  • 若$a,b \in S$,那么$ab \in S$

定理:交换环$R$的子环$S$也是交换环
提示:把子环$S$视为$(R,+)$的子群并且$0 \in S$,那么$S$的结合性,交换性和分配性可由对$+$与$\cdot$的封闭性确保

函数上的交换环

在这一部分,我们用两个例题来了解函数上的交换环
例1:
令$\mathcal{F} (\mathbb{R})$为所有$\mathbb{R} \to \mathbb{R}$上的所有函数组成的集合,这个集合配备了逐点加法逐点乘法运算
对于函数$f,g \in \mathcal{F} (\mathbb{R})$,逐点加法和逐点乘法定义如下:

逐点加法与逐点乘法恰适用于微积分学研究的函数,举个例子:

其中,$+$运算即是逐点加法运算,而式子中的$f’g$也是$f’$和$g$的逐点乘积
下面证明$\mathcal{F} (\mathbb{R})$是交换环
$\mathcal{F} (\mathbb{R})$中的0元为$z(a)=0, a \in \mathbb{R}$
$\mathcal{F} (\mathbb{R})$中的1元为$\epsilon (a)=1, a \in \mathbb{R}$
其余请自行证明
下面证明$\mathcal{F} (\mathbb{R})$不是整环
定义$f$为

定义$g$为

显然,f和g都不是零元
对每一个$a \in \mathbb{R}$,有

因此$fg=z$
因此$\mathcal{F} (\mathbb{R})$不是整环
例2:
若对所有$a \in \mathbb{R}$,都有$f’(a)$存在的话,则$f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$是可微的
令$\mathcal{D} (\mathbb{R})$为$\mathbb{R} \to \mathbb{R}$上所有可微函数组成的集合
下证$\mathcal{D} (\mathbb{R})$是$\mathcal{F} (\mathbb{R})$的子环
已知$\epsilon$在$\mathcal{D} (\mathbb{R})$中,因为$\epsilon ‘ = z$
若$f,g \in \mathcal{D} (\mathbb{R})$,那么$f+g \in \mathcal{D} (\mathbb{R})$,因为$(f+g)’=f’+g’$
同理$fg \in \mathcal{D} (\mathbb{R})$,因为$(fg)’=f’g+fg’$
因此$\mathcal{D} (\mathbb{R})$是$\mathcal{F} (\mathbb{R})$的子环

同余类上的交换环

满足如下性质:

  • $\mathbb{I}_{m}$是一个交换环
  • $\mathbb{I}_{m}$是整环当且仅当$m$是质数

交换环除法

若$a,b \in R$,若存在$a \in R$,使得$b=ca$,则称a整除b,用$a \mid b$表示

性质

令$R$是交换环,且$a,b,c \in R$,则

  • 若$a \mid b$且$b \mid c$,那么$a \mid c$
  • 若$a \mid b$且$b \mid c$,那么$a$可以整除每一个可以用$sb+tc$表示的元素,其中$s,t \in R$

可逆元

元素$u \in R$,若$u \mid 1$,即存在$v \in R$使得$uv=1$,$v$被称为$u$的逆,可被表示为$u^{-1}$

性质

  • 可逆元的逆唯一
  • 若u是可逆元,则对任何$w \neq 0$,有$uw \neq 0$
  • R中的可逆元组成的集合对运算$\cdot$形成阿贝尔群

定理

  • 设$R$是一个整环,若元素$a,b \in R$非零,那么$a \mid b$且$b \mid a$当且仅当对某个可逆元$u \in R$,有$b=ua$
  • 若a是整数,则$[a]$是$\mathbb{I}_{m}$的可逆元当且仅当$gcd(a,m)=1$
  • 若$p$是质数,那么$\mathbb{I}_{p}$每一个非零的$[a]$都是可逆元

注:若$sa+tm=1$,那么$[a]^{-1}=[s]$

一个域F是一个交换环,在域中$1 \neq 0$,且每一个非零元素$a$都是一个可逆元
即存在$a^{-1} \in F$使得$a^{-1} a=1$

定理

  • 每一个域$F$都是一个整环
  • 交换环$\mathbb{I}_{m}$是一个域当且仅当$m$是质数
    注:当$p$为质数时,$\mathbb{I}_{p}$也可表示为$\mathbb{F}_{p}$

分式域

引理:
若$R$是一个域并且$X=\lbrace (a,b) \in R \times R:b \neq 0 \rbrace$,那么$X$上的关系$\equiv$可如下定义:

关系$\equiv$是一个等价关系

由一个整环$R$定义一个域$F$:

  • 对所有$a,b \in R, b \neq 0$,定义$F={[a,b]}$
  • 定义相等:若$ad=bc$,则$[a,b]=[c,d]$
  • 定义$+$运算为$[a,b]+[c,d]=[ad+bc,bd]$
  • 定义$\cdot$运算为$[a,b] \cdot [c,d]=[ac,bd]$
  • 定义$[0,1]$,或$[0,b],b \neq 0$为零元
  • 定义$[1,1]$,或$[b,b],b \neq 0$为一元

$F$是域请自行证明
由$R$生成的分式域表示为$Frac(R)$
元素$[a,b] \in Frac(R)$可用$a/b$表示,类似的,$a/1$可被化简为$a$,$0/a(a \neq 0)$可被化简为0,$1/a(a \neq 0)$可被表示为$a^{-1}$
$Frac(\mathbb{Z})=\mathbb{Q}$

子域

域$K$的子域是$K$的一个子环,并且这个子环也是一个域

定理

  • 域$K$的子集$k$是一个子域,当且仅当$k$是一个对逆元运算封闭的子环,即若$a \in k$并且$a \neq 0$,那么$a^{-1} \in k$
  • 若$\lbrace F_{i}:i \in I \rbrace$是域$K$的任何子域所构成的集合簇,那么$k=\bigcap_{i \in I} F_{i}$也是$K$的一个子域
    注:若$K$是一个域,那么$K$的所有子域的交集$k$被称作$K$的素域

多项式

引理:若$R$是一个交换环,那么在$R$上的一个序列可被定义为一个函数$\sigma :\mathbb{N} \to R$
一个序列$\sigma$可由它的值定义,对每一个$i \in \mathbb{N}$,令$\sigma (i)=s_{i} \in R$,那么

$s_{i} \in R$被称为序列的系数,序列$\sigma = \tau$当且仅当$\sigma (i)= \tau (i),i \geq 0$
这样的话,很容易把多项式$s_{0}+s_{1}x+s_{2}x^{2}+ \cdots +s_{n}x^{n}$对应到序列$(s_{0},s_{1},s_{2}, \cdots ,s_{n} ,0,0, \cdots)$
下面给出多项式的定义

若存在整数$n \geq 0$,使得对所有$i > n$都有$s_{i} = 0$,则称交换环$R$上的序列$\sigma = (s_{0}, s_{1}, s_{2}, \cdots, s_{i}, \cdots)$为一个多项式,即

一个多项式只有有限个非零系数
序列$\sigma=(0,0,0, \cdots)$被称为零多项式,可表示为$\sigma=0$
若多项式$\sigma \neq 0$,那么存在自然数$n$使得$s_{n} \neq 0$,且对任何$i > n$有$s_{i}=0$,那么称$s_{n}$是$\sigma$的最高系数,$n$是$\sigma$的次数,用$deg(\sigma)$表示
注意:$deg(\sigma)=0$表示$s_{0} \neq 0$
若最高系数$s_{n}=1$,则称该多项式是首一的

多项式乘法

若$R$是一个交换环,且对$i \geq 0, j \geq 0$有$r, s_{i}, t_{j} \in R$,那么

其中$a_{k}= \sum_{i+j=k} s_{i}t_{j}$,对所有$k \geq 0$

多项式环

若$R$是一个交换环,那么由$R$中元素作为系数的所有多项式的集合可用$R[x]$表示
多项式环中加法定义如下:

多项式乘法的定义见上
环中的零元为$(0,0, \cdots )$,一元为$(1,0, \cdots)$

定理

  • 若$R$是交换环,那么$R[x]$也是交换环且$R$是其子环
  • 若$R$是整环,那么$R[x]$也是整环

令$R$是一个交换环,且令$\sigma, \tau \in R[x]$是非零多项式,则

  • Either $\sigma \tau =0$ or $deg(\sigma \tau) \leq deg(\sigma) + deg(\tau)$
  • 若$R$是一个整环,那么$\sigma \tau \neq 0$且$deg(\sigma \tau) = deg(\sigma) +deg(\tau)$

未知数

令未知数为元素

定理

  • 若$\sigma=(s_{0},s_{1}, \cdots,s_{j},\cdots)$,那么$x \sigma=(0,s_{0},s_{1}, \cdots, s_{j}, \cdots)$
  • 若$n \geq 1$,则$x^{n}$的各个元素全是0,除了第n个元素为1
  • 若$r \in R$,则$(r,0,0, \cdots)(s_{0},s_{1}, \cdots ,s_{j}, \cdots)=(rs_{0},rs_{1}, \cdots ,rs_{j}, \cdots)$

多项式函数

每个多项式$f(x)=s_{0}+s_{1}x+s_{2}x^{2}+ \cdots +s_{n}x^{n} \in R[n]$都定义了一个函数$f:R \to R$:若$r \in R$,有$f(r)=s_{0}+s_{1}r+s_{2}r^{2}+ \cdots +s_{n}r^{n} \in R$
多项式$f(x)=s_{0}+s_{1}x+s_{2}x^{2}+ \cdots +s_{n}x^{n}$和$g(x)=t_{0}+t_{1}x+t_{2}x^{2}+ \cdots +t_{m}x^{m}$相等当且仅当对所有$i \in \mathbb{N}$,有$s_{i}=t_{i}$
令$F$为域,则$F[x]$的分式域,用$F(x)$表示,被称为$F$上的有理函数域

定理

  • $F(x)$中的元素有$f(x)/g(x)$的形式,其中$f(x),g(x) \in F[x]$且$g(x) \neq 0$
  • 若$p$是素数,那么有理函数域$\mathbb{F}_{p} (x)$是一个有限域,其素域为$\mathbb{F}_{p}$

多变量多项式

令$A=R[x]$,那么多项式环$A[y]$可被称为定义在$R$上的多变量多项式环,可表示为$R[x,y]$
例如,多项式$cy^{2}+(bx+e)y+(ax^{2}+dx+f)$,是一个由$R[x]$中元素作为系数的多项式
$R[x_{1},x_{2}, \cdots, x_{n}]$也类似

环同态

若$A$和$R$是交换环,那么一个环同态就是一个函数$f:A \to R$,且有

  • $f(1)=1$
  • 对所有$a,a’ \in A$有$f(a+a’)=f(a)+f(a’)$
  • 对所有$a,a’ \in A$有$f(aa’)=f(a)f(a’)$

如果一个同态也是双射,则这个同态也是一个同构。交换环$A$和$R$同构可表示为$A \cong R$

性质

若$f: A \to R$是一个环同构,那么对所有$a \in A$有

  • 对所有$n \geq 0$,有$f(a^{n})=f(a)^{n}$
  • 若$a$是一个可逆元,那么$f(a)$也是一个可逆元并且$f(a^{-1})=f(a)^{-1}$
  • 若$a$是一个可逆元,那么对所有$n \geq 1$有$f(a^{-n})=f(a)^{-n}$
  • 若定义$U(A)$为$A$中的可逆元组成的群,有$f(U(A)) \subseteq U(R)$,且若$f$是一个同构,有$U(A) \cong U(R)$

计值映射

若$R$是一个交换环并且$s \in R$,那么计值映射$e_{s}:R[x] \to R$是同态
计值映射$e_{s}$定义为$e_{s}(f(x))=f(s)$,即$e_{s}(\sum_{i}r_{i}x^{i})=\sum_{i}r_{i}s^{i}$

核与像

若$f: A \to R$是一个环同态,那么它的核为

它的像为

核与像满足如下性质:若$f: A \to R$是一个环同态,且$R$是一个非零环,那么$\mathbf{im}f$是$R$的子环且$\mathbf{ker} f$是$A$的真子集,满足如下条件

  • $0 \in \mathbf{ker}f$
  • 若$x,y \in \mathbf{ker} f$,有$x+y \in \mathbf{ker} f$
  • 若$x \in \mathbf{ker} f$且$a \in A$,有$ax \in \mathbf{ker}f$

理想

交换环$R$上的理想$I$是$R$的子集且有

  • $0 \in I$
  • 若$a,b \in I$,那么$a+b \in I$
  • 若$a \in I$且$r \in R$,那么$ra \in I$

理想$I \neq R$称为真理想
若$ab \in I$,则有$a \in I$或$b \in I$,且$I$为真理想,则$I$为素理想

主理想

若$b_{1},b_{2}, \cdots ,b_{n}$在$R$中,那么它们所有线性组合的集合

是$R$上的一个理想,可以写作$I=(b_{1},b_{2},\cdots,b_{n})$
特殊的,如果$n=1$,那么

是$R$上的一个理想,称为由$b$生成的主理想
很显然$R=(1)$且$\lbrace 0 \rbrace =(0)$,在整数集$\mathbb{Z}$上,主理想$(2)$是所有偶数组成的集合
$\mathbb{Z}$上的每一个理想都是主理想
拓展:证明$\lbrace r_{1}b_{1}+r_{2}b_{2}:r_{1},r_{2} \in \mathbb{Z} \rbrace = \lbrace rd : r \in \mathbb{Z} \rbrace$,其中$d=gcd(b_{1},b_{2})$

推论

  • 环同态$f: A \to R$是单射当且仅当$\mathbf{ker} f =\lbrace 0 \rbrace$
  • 若$f:k \to R$是环同态,且$R$不是一个零环,且当$k$是一个域,那么$f$是一个单射

理想与环

  • 若$R$是交换环,且存在可逆元$u \in R$使得$a=ub$,那么$(a)=(b)$
  • 若$R$是一个整环,那么$(a)=(b)$可以推出存在可逆元$u \in R$使得$a=ub$
  • 非零交换环$R$是一个域,当且仅当它仅有的理想是$\lbrace 0 \rbrace$和$R$
  • 交换环$R$上的理想$\lbrace 0 \rbrace$是一个素理想,当且仅当$R$是整环
  • $(p)$为$\mathbb{Z}$上的素理想,且有$p=0$或$p$是一个素数

多项式除法算法

引理:若$f(x)=s_{n}x^{n}+ \cdots +s_{1}x+s_{0}$是一个次数为$n$的多项式,那么它的首项是

令$k$是一个域,令$f(x)=s_{n}x^{n}+ \cdots +s_{1}x+s_{0}$和$g(x)=t_{m}x^{m}+ \cdots +t_{1}x+t_{0}$是$k[x]$上的多项式,满足$deg(f) \leq deg(g)$,即$n \leq m$
那么有$s_{n}^{-1} \in k$,因为$k$是一个域,且

这样可得出$LT(f) \mid LT(g)$

算法的证明:令$R$是一个交换环,令$f(x),g(x) \in R[x]$,并令$f(x)$的最高系数是$R$上的可逆元,有

  • 有多项式$q(x),r(x) \in R[x]$使得$g(x)=q(x)f(x)+r(x)$,其中有$r(x)=0$或$deg(r) < deg(f)$
  • 若$R$是一个整环,那么上文中提到的$q(x)$和$r(x)$是独特的

证明从略

算法的实现:
以下是伪代码实现

多项式的根

若$f(x) \in k[x]$,且$k$是一个域,那么在$k$上的$f(x)$的根是一个元素$a \in k$,且有$f(a)=0$
对任何$a \in k$,都存在$q(x) \in k[x]$使得

若$f(x) \in k[x]$,且$k$是一个域,那么$a \in k$是$f(x)$的根当且仅当$x-a$整除$f(x)$

定理

令$k$是一个域且$f(x) \in k[x]$,有

  • 若$f(x)$的次数为$n$,那么$f(x)$在$k$上最多有$n$个根
  • 若$f(x)$的次数为$n$,并且$a_{1},a_{2}, \cdots ,a_{n} \in k$是$f(x)$的独特的根,那么有$c \in k$满足$f(x)=c(x-a_{1})(x-a_{2}) \cdots (x-a_{n})$

多项式的最大公约式

若$k$是一个域,$f(x),g(x) \in k[x]$,那么公约式$c(x) \in k[x]$满足$c(x) \mid f(x)$和$c(x) \mid g(x)$
若$f(x)=0=g(x)$,那么它们的最大公约式为0,若两个多项式中至少有一个非零,那么它们的最大公约式(用$(f,g)$表示),是一个首一的公约式$d(x) \in k[x]$,且对每一个公约式$c(x)$,有$deg(c) \leq deg(d)$
若$k$是一个域,且$f(x),g(x) \in k[x]$,那么它们的最大公约式是$f(x)$和$g(x)$的线性组合(可被表示为$h(x)=s(x)f(x)+t(x)g(x)$,且$s(x),t(x) \in k[x]$)

定理

令$k$是一个域,且$f(x),g(x) \in k[x]$,有

  • 一个首一的公约式$d(x)$是最大公约式,当且仅当$d(x)$能整除每一个公约式
  • 任何两个多项式$f(x)$和$g(x)$都有唯一的最大公约式

欧几里得算法

若$k$是一个域且$f(x),g(x) \in k[x]$,那么存在一个计算$gcd(f(x),g(x))$的算法,也存在一个计算最大公约式的线性组合表示的算法
以下是伪代码实现:

多项式的理想

若$k$是一个域,那么$k[x]$上的每一个理想$I$都是主理想。若$I \neq 0$,那么有一个首一的多项式可以生成$I$
一个交换环$R$是一个主理想整环,如果$R$是一个整环,且在这个整环里每个理想都是主理想。主理想整环可以简写为PID(principal ideal domain)

不可约简项

交换环$R$上的元素$p$是不可约简项,若$p$既不是0也不是可逆元。如果在$R$上有$p=ab$,那么$a$或$b$是可逆元
若$k$是一个域,那么一个非常数多项式$p(x) \in k[x]$是不可约简项,当且仅当$p(x)$不能以$p(x)=f(x)g(x)$的形式被分解,其中$f(x)$和$g(x)$的次数均小于$p(x)$的次数,且$f(x)$和$g(x)$也是非常数多项式

欧氏环

交换环$R$是一个欧氏环当其为一个整环并且有一个函数

这个函数被称为degree function,且满足

  • 对所有$f,g \in R^{\times}$,有$\vartheta (f) \leq \vartheta (fg)$
  • 对所有$f,g \in R$,其中$f \in R^{\times}$,那么存在$q,r \in R$满足$g=qf+r$,且有$r=0$或$\vartheta (r) < \vartheta (f)$

$R^{\times}$表示$R$中所有非零元素组成的集合

举例

  • 每一个域$R$都是欧氏环,且$\vartheta =0$
  • $\mathbb{Z}$是欧氏环,且对$m \in \mathbb{Z}$,有$\vartheta (m)=m$
  • 对一个域$k$,$k[x]$是欧氏环,且对$f \in k[x]$,有$\vartheta(f)=deg(f)$

唯一分解

若$k$是一个域,那么每一个次数大于等于1的多项式$f(x) \in k[x]$是一个非零常数和(多个)首一不可约简项的乘积。此外,如果

其中$a$和$b$是非零常数并且$p$和$q$是首一不可约简项,那么有$a=b,m=n$,且对所有$i$,有$q_{i}=p_{i}$

交换环上的同余类

给定交换环$R$和理想$I$,在$R$上定义模$I$的同余关系如下

定理:模$I$的同余关系是$R$上的等价关系

给定交换环$R$和$R$上的理想$I$,定义$a$模$I$的同余类如下

这是$a$关于$R$的等价类
所有模$I$的同余类组成的集合可以表示为$R/I$

商环

如果$I$是交换环$R$上的理想,那么$R/I$是交换环
$R/I$上的加法和乘法运算定义如下:

这个$R/I$被称为$R$模$I$的商环
$\mathbb{I}_{m}$上的同余类也可以用如下形式表示:

第一环同构定理

若$\varphi:R \to S$是一个环同态,那么$\mathbf{ker} \varphi$是$R$上的理想,$\mathbf{im} \varphi$是$S$的子环,并且存在一个同构

这个同构定义为$\widetilde{\varphi}(a+ \mathbf{ker} \varphi)=\varphi(a)$

极大理想

交换环$R$上的理想$I$是极大理想,如果$I$是一个真理想并且没有理想$J$使得$I \subset J \subset R$

举例

  • $\lbrace 0 \rbrace$是$R$上的极大理想,当且仅当$R$是域
  • 如果$R$是一个主理想整环,那么每一个非零素理想都是极大理想