抽象代数学习笔记--群

适用教材:A First Course in Abstract Algebra
如有疏漏，敬请指正

群

二元运算

集合$G$上的二元运算可被定义为函数的形式，且函数满足：

$$G \times G \rightarrow G$$

二元运算满足代换律，即如果$x=x’$且$y=y’$，那么$x \ast y=x’ \ast y’$

群的定义

群是一个配备了运算$\ast$和特殊元素$e\in G$的集合$G$，且满足如下条件：

• 对任意$a,b,c \in G$，都有$a \ast (b \ast c)=(a \ast b) \ast c$
• 对所有$a \in G$，都有$e \ast a=a$
• 对任意$a \in G$，都存在$a’ \in G$，使得$a’ \ast a=e$

阿贝尔群

服从交换律的群，即对任意$x,y \in G$，都有$x \ast y=y \ast x$成立

群的性质

• 若$G$是一个群，且$a \in G$满足$a \ast a=a$，那么$a=e$
• 对任意$a \in G$，有$a \ast a’=e$
• 对任意$a \in G$，有$a \ast e=a$
• 若$e_{0} \in G$对所有$a \in G$都有$e_{0} \ast a=a$，那么$e_{0}=e$
• 令$a \in G$，如果$b \in G$满足$b \ast a=e$，那么$b=a’$(逆元唯一)
• 若$a,b,x \in G$，且$x \ast a=x \ast b$或$a \ast x=b \ast x$，则$a=b$
• 对所有$a \in G$，$(a^{-1})^{-1}=a$
• 若$a,b \in G$，那么$(a \ast b)^{-1}=b^{-1} \ast a^{-1}$
  一般地

$$(a_{1} \ast a_{2} \ast \cdots a_{n})^{-1}=a_{n}^{-1} \ast \cdots \ast a_{2}^{-1} \ast a_{1}^{-1}$$

加法群

配备运算$+$和元素$0 \in G$的集合$G$，满足如下条件：

• 对任意$a,b,c \in G$，$(a+b)+c=a+(b+c)$
• 对任意$a \in G$，$0+a=a$
• 对任意$a \in G$，存在$-a \in G$，使得$(-a)+a=0$

群的指数

若$G$是一个群并且元素$a \in G$，定义$a^{n}$，其中$n \geq 1$如下：

$a^{1}=a$且$a^{n+1}=aa^{n}$
定义$a^{0}=1$，且若n为正整数，则定义：

$$a^{-n}=(a^{-1})^{n}$$

定理

设$G$是一个群，令$a,b \in G$，且$m$和$n$为整数，则：

• 若a和b是可交换的，那么$(ab)^{n}=a^{n}b^{n}$
• $(a^{n})^{m}=a^{nm}$
• $a^{m}a^{n}=a^{m+n}$

阶

设$G$是一个群且$a \in G$，若存在一个$k \geq 1$，使得$a^{k}=1$，则最小的$k \geq 1$称为$a$的阶，如果$k$不存在，则称$a$的阶无穷大。

定理

设$G$是一个群且$a \in G$有有限的阶$k$。若$a^{n}=1$，那么$k \mid n$。

子群

设集合H是群G的子集，当满足以下条件时：

• $1 \in H$
• 若$x,y \in H$，则$xy \in H$，即$H$对$\ast$封闭
• 若$x \in H$，那么$x^{-1} \in H$

若$H \neq G$，则称H为真子群；若$H \neq \lbrace 1 \rbrace$，则称H非平凡。

定理

• 每一个子群$H \leq G$也是群
• 群G的子集H是子群当且仅当H非空，且对任意$x,y \in H$，有$xy^{-1} \in H$
• 有限群G的非空子集H是子群当且仅当H对于定义在G上的运算封闭

循环群

若G是一个群且$a \in G$，令

$$\langle a \rangle =\lbrace a^{n}:n \in \mathbb{Z} \rbrace$$

则$\langle a \rangle$是由a生成的G的循环子群
当存在$a \in G$使得$G=\langle a \rangle$，称G为循环的，a是G的一个生成元

定理

• 若$G=\langle a \rangle$是一个阶为n的循环群，那么$a^{k}$为G的生成元当且仅当$gcd(k,n)=1$
• 循环群的子群也是循环的
• 令G为有限群且$a \in G$，那么a的阶是$\langle a \rangle$中元素的个数

注意：若G是一个有限群，那么$\mid G \mid$就是G的阶

陪集

若H是群G的子群且$a \in G$，令

$$aH= \lbrace ah:h \in H \rbrace$$

为G的陪集aH，aH是G的子集
aH中所用的运算为定义在群G中的运算

性质

令H是群G的子群，且$a,b \in G$

• $aH=bH$当且仅当$b^{-1}a \in H$。特别地，$aH=H$当且仅当$a \in H$
• 若$aH \cap bH \neq \varnothing$，则$aH=bH$
• 对所有$a \in G$，有$\mid aH \mid = \mid H \mid$

拉格朗日子群定理

若H是有限群G的子群，那么$\mid H \mid$整除$\mid G \mid$

推论

若H是有限群G的子群，那么$[G:H]=\mid G \mid / \mid H \mid$
注：The index of a subgroup H in G, denoted by $[G:H]$, is the number of cosets of H in G, that is, $\mid G \mid = [G:H] \mid H \mid$

群同态

若$(G, \ast )$和$(H, \circ )$，那么如果

$$f(x \ast y)=f(x) \circ f(y)$$

函数$f:G \to H$是一个同态
若f是双射，那么称f为一个同构，称G和H是同构的，用$G \cong H$表示
若$G \cong H$，则$H \cong G$

性质

令$f:G \to H$是一个同态，则：

• $f(1)=1$
• $f(x^{-1})=f(x)^{-1}$
• 对所有$n \in \mathbb{Z}$，有$f(x^{n})=f(x)^{n}$

核与像

令$f:G \to H$是一个同态，定义

$$\mathbf{kernel} f= \lbrace x \in G: f(x)=1 \rbrace$$

为核，简写为$\mathbf{ker} f$
定义

$$\mathbf{image} f= \lbrace h \in H: h= f(x) \quad \mathrm{for \quad some \quad} x \in G \rbrace$$

为像，简写为$\mathbf{im} f$

定理

令$f:G \to H$是一个同态

• $\mathbf{ker} f$是G的子群且$\mathbf{im} f$是H的子群
• 若$x \in \mathbf{ker} f$且$a \in G$，那么$axa^{-1} \in \mathbf{ker} f$
• f是单射当且仅当$\mathbf{ker} f = \lbrace 1 \rbrace$

共轭

对每一个$k \in K, g \in G$，若

$$gkg^{-1} \in K$$

则称那么子群K是群G的正规子群，记为$K \vartriangleleft G$
如果G是群且$a \in G$，那么a的共轭是具有如下形式的G的任何一个元素

$$gag^{-1},g \in G$$

注意：$a=hbh^{-1}$且$h=g^{-1}$
如果G是一个群且$g \in G$，定义共轭$\gamma_{g}:G \to G$如下

$$\gamma_{g}(a)=gag^{-1}$$

对于任意$a \in G$

定理

• 若G是一个群且$g \in G$，那么共轭$\gamma_{g}:G \to G$是一个同构
• 共轭元素有相同的阶

同余类

给定$m \geq 2$和$a \in \mathbb{Z}$，那么a模m的同余类是$\mathbb{Z}$的子集$[a]$

$$[a]=\lbrace b \in \mathbb{Z} : b \equiv a \quad \mathrm{mod} \quad m \rbrace = \lbrace a+km: k \in \mathbb{Z} \rbrace$$

所有这样的模m同余的同余类表示为$\mathbb{I}_{m}$

$[a]=[b]$在$\mathbb{I}_{m}$中当且仅当$b \equiv a \quad \mathrm{mod} \quad m$

定理

• 若$a \in \mathbb{Z}$，那么存在$0 \leq r<m$，使得$[a]=[r]$
• 若$0 \leq r’ < r < m$，那么$[r’] \neq [r]$
• $\mathbb{I}_{m}$有m个元素，分别是$[0],[1], \cdots ,[m-1]$

费马小定理

若$p$是一个质数并且 $a \in \mathbb{Z}$,那么

$$a^{p} \equiv a \quad \mathrm{mod} \quad p$$

同余加法

若$m \geq 2$,那么定义函数$\alpha : \mathbb{I}_{m} \times \mathbb{I}_{m} \to \mathbb{I}_{m}$为

$$\alpha ([a],[b])=[a+b]$$

此为同余加法

定理

• $\mathbb{I}_{m}$是一个阶为m的可加循环群，其生成元为$[1]$
• 每一个阶$m \geq 2$的循环群与$\mathbb{I}_{m}$同构

同余乘法

定义函数$\mu : \mathbb{I}_{m} \times \mathbb{I}_{m} \to \mathbb{I}_{m}$为

$$\mu ([a],[b])=[ab]$$

为同余乘法
同余乘法具有结合性与交换性，其单位元为$[1]$

定理

• 若$(a,m)=1$，那么$[a][x]=[b]$有解，解为$\mathbb{I}_{m}$中的$[x]$
• 若p为质数，那么$\mathbb{I}^{\times}_{p}$，即$\mathbb{I}_{p}$中非零元素组成的集合，是一个可乘阿贝尔群，其阶为p-1

商群

引理：若K是群G的正规子群，那么对每一个$b \in G$，有$bK=Kb$
令$G/K$表示子群K的所有陪集组成的集合，若K是正规子群，则

$$aKbK=abK$$

对任意$a,b \in G$，且$G/K$是在此运算下的一个群
$G/K$被称为商群，若G为有限群，那么$\mid G/K \mid = [G:K] =\mid G \mid / \mid K \mid$
每一个$K \vartriangleleft G$都是某个同态的核

第一同构定理

若$f: G \to H$是一个同态，那么

$$\mathbf{ker} f \vartriangleleft G \quad \mathrm{and} \quad G/ \mathbf{ker} f \cong \mathbf{im}f$$

直积

若H与K为群，那么他们的直积，用$H \times K$表示，是有序对$(h,k)$的集合，在其中定义的运算为

$$(h,k)(h',k')=(hh',kk')$$

$H \times K$是群，且其为阿贝尔群当且仅当H与K都是阿贝尔群
对于n个群$H_{1}, \cdots ,H_{n}$，把二元组推广到n元组

凯莱定理

每一个群G都同构于对称群$S_{G}$的一个子群。
若$\mid G \mid = n$，那么G同构于$S_{n}$的一个子群