如有疏漏,敬请指正

1

题目:
Compute the order and inverse of $(12)(43)(13542)(15)(13)(23)$.
解答:
化简得$(12)(43)(13542)(15)(13)(23)=(154)(23)$
故阶为$k=lcm(3,2)=6$
逆为$((154)(23))^{-1}=(32)(451)$
注意:默认为从右向左运算

2

题目:
How many permutations of order 2 are there in $S_{n}$?
解答:

3

题目:
$GL(2,Q)$ denotes the set of the nonsingular (having nonzero determinant, 行列式非 0) rational square matrix of length 2 under matrix product.

  1. Show that it’s a group.
  2. Compute the order of A=[0, -1; 1, 0] and B=[0, 1; -1, 1] .
  3. What’s the order of AB ?

解答:
(1)
令$A,B \in GL(2,Q)$,在$GL(2,Q)$中定义的运算为矩阵乘法

易证:$\mid AB \mid = \mid A \mid \mid B \mid$,由于$\mid A \mid \neq 0, \mid B \mid \neq 0$,因此$\mid AB \mid \neq 0$,因此$AB \in GL(2,Q)$

令A,B,C为$m \times m$矩阵

由矩阵乘法的定义不难得出$(AB)C$和$A(BC)$为$m \times m$矩阵,A(BC)第i行第j列元素为

即为(AB)C的第i行第j列元素

因此方阵乘法具有结合性

存在单位矩阵$E$,使得$\forall A \in GL(2,Q),EA=A$

$\forall A \in GL(2,Q),\mid A \mid \neq 0$,且A为方阵,因此存在$A^{-1}$,使得$A^{-1}A=E$
又因为$\mid A^{-1} \mid = \frac{1}{\mid A \mid}$且$\mid A \mid \neq 0$,所以$A^{-1} \in GL(2,Q)$

因此,$GL(2,Q)$是群
(2)
A的阶为4
B的阶为6
(3)
用数学归纳法容易证明:

因此阶为无穷大

4

题目:
Under matrix product, the special linear group is defined as:

Prove that it’s a subgroup of $GL(2,R)$.
解答:
对任意$X \in SL(2,R)$,有$X \in GL(2,R)$,因而$SL(2,R) \subseteq GL(2,R)$
因为单位矩阵$E$的行列式值$\mid E \mid = 1$
所以$E \in SL(2,R)$
对任意$X,Y \in SL(2,R)$,有$\mid XY \mid = \mid X \mid \mid Y \mid =1$
所以$XY \in SL(2,R)$
对任意$X \in SL(2,R)$,有$\mid X^{-1} \mid = \frac{1}{\mid X \mid}=1$
所以$X^{-1} \in SL(2,R)$
综上:$SL(2,R)$是$GL(2,R)$的子群

5

题目:

  1. The stochastic group $\sum (n,R)$ is a subset of $GL(n,R)$ that each column sums to 1. Prove that it’s a group.
  2. The doubly stochastic group $\sum ‘(n,R)$ is a subset of $GL(n,R)$ that each column and each row sum to 1. Prove that it’s a subgroup of $\sum (n,R)$.

解答:
(1)
不失一般性,定义

在集合$\sum (n,R)$上定义矩阵乘法运算
因此,矩阵AB的每列之和为

化简得

因此矩阵乘法对$\sum (n,R)$封闭
易知,矩阵乘法具有结合性
易知,对所有矩阵$A \in \sum (n,R)$,有单位矩阵$E \in \sum (n,R)$使得EA=E
因为$\sum (n,R)$是$GL(n,R)$的子集,因此对于任意$A \in \sum (n,R)$,存在$A^{-1}$使得$A^{-1}A=E$
易知存在$A^{-1} \in \sum (n,R)$
综上,$\sum (n,R)$是群
(2)

在集合$\sum ‘ (n,R)$上定义矩阵乘法运算
因此,矩阵AB的每列之和为

化简得

同理,每行之和为1
因此矩阵乘法对$\sum ‘ (n,R)$封闭
易知,矩阵乘法具有结合性
易知,对所有矩阵$A \in \sum ‘ (n,R)$,有单位矩阵$E \in \sum ‘ (n,R)$使得EA=E
因为$\sum ‘ (n,R)$是$GL(n,R)$的子集,因此对于任意$A \in \sum ‘ (n,R)$,存在$A^{-1}$使得$A^{-1}A=E$
易知存在$A^{-1} \in \sum ‘ (n,R)$
由定义可知$\sum ‘ (n,R) \subseteq \sum (n,R)$
综上,$\sum ‘ (n,R)$是$\sum (n,R)$的子群

6

题目:
已知

求$\alpha^{-1}$和$\alpha^{3}$
解答:

7

题目:
Show that determinant is a surjective (but not injective) homomorphism, from matrix product on non-singular $k \times k$ matrices to multiplication on non-zero real numbers

Note: $\mathbf{ker} det$ is the special linear group $SL(k, \mathbb{R} ) = \lbrace A \in GL(k, \mathbb{R} ):det(A)=1 \rbrace$.
解答:
在$GL(k, \mathbb{R} )$中定义运算为矩阵乘法,在$\mathbb{R}$中定义运算为乘法运算
对任意$X,Y \in GL(k, \mathbb{R} )$
有$det(XY)= \mid XY \mid$
由分块矩阵的性质可得

即$det(XY)=det(X)det(Y)$
因此函数$det$是一个同态
对于任意$r \in \mathbb{R}$,都存在$x \in GL(k, \mathbb{R} )$使得$det(x)=r$,其中

因此$det$是满射
又因为$\mathbf{ker} det=SL(k, \mathbb{R} ) \neq \lbrace E \rbrace$
所以$det$不是单射

8

题目:
The real addition group $(\mathbb{R},+)$ is mapped to $H=((0,1),*)$ on interval $(0,1)$ by sigmoid function $f(x)= \frac{1}{1+e^{-x}}$, where the operation $\ast$ is:

  1. Does H have the 1-element? What is it?
  2. Does every element in H have an inverse element?
  3. Is the sigmoid function between G and H an isomorphism?

解答:
(1)
假设单位元$1_{H}$存在,即存在$1_{H} \in H$,对任意$b \in H$使得

解得$1_{H}=\frac{1}{2} \in H$
因此,存在单位元$1_{H}=\frac{1}{2}$
(2)
假设对任意$a \in H$,都存在$a’ \in H$,使得$a \ast a’ = 1_{H}$

解得$a’=1-a$
因为$a \in (0,1)$,所以$1-a \in (0,1)$,即$a’ \in (0,1)$
所以,对任意$a \in H$,都存在$a’ \in H$,使得$a \ast a’ = 1_{H}$
(3)
求得

因此$f(a+b)=f(a) \ast f(b)$,即$f$是一个同态
对任意$y \in (0,1)$,都有$x=-ln(\frac{1}{y}-1)$
计算可得$x \in \mathbb{R}$
因此$f$是满射
解方程$\frac{1}{1+e^{-x}}= \frac{1}{2}$
可得$x=0$,这是$(\mathbb{R},+)$的单位元
因此$\mathbf{ker} f={1_{\mathbb{R}}}$,即$f$是单射
综上,$f$是双射,即$f$是一个同构

9

题目:
Group $( \mathbb{R} ,+)$ is mapped to $K=(\mathbb{R}^{+}, \&)$ by softplus function $f(x)=ln(1+e^{x})$.

  1. Find a proper operation & which makes it a homomorphism.
  2. Prove that K is an abelian group with the above &.

解答:
(1)

(2)
对任意$a,b \in K$,因为$a,b > 0$,$e^{a},e^{b} > 1$,即$(1-e^{a})(1-e^{b})>0$
所以$1-e^{a}-e^{b}+e^{a+b} > 0$,即$e^{a+b}-e^{a}-e^{b}+2 > 1$
所以$a \& b=ln(e^{a+b}-e^{a}-e^{b}+2)>0$
可得运算$\&$对$K$封闭
根据运算$\&$的定义

因此运算$\&$满足结合律
存在单位元$1_{K}=ln2$,使得对所有$a \in K$,都有$1_{K} \& a=a$
对任意$a \in K$,假设逆元存在,即存在$a’ \in K$,使得$a \& a’ = ln2$
解得

因为$a \in \mathbb{R}^{+}$,所以$e^{a}-1>0$
又因为$e^{a}>e^{a}-1$,所以$\frac{e^{a}}{e^{a}-1} > 1$,所以$a’ \in \mathbb{R}^{+}$
即对任意$a \in K$,都有$a’ \in K$
综上所述,$K$是群
因为$a \& b =ln(e^{a+b}-e^{a}-e^{b}+2) =b \& a$
所以$K$也是阿贝尔群

10

题目:
Show that for any $n \in \mathbb{Z}$, $(n \mathbb{Z},+) \vartriangleleft (\mathbb{Z},+)$, and $\mathbb{Z} /n \mathbb{Z}$ is $\mathbb{I}_{n}$
解答:
易知,$n \mathbb{Z}$和$\mathbb{Z}$的单位元为$0$
则对每一个$k \in n \mathbb{Z}$和$g \in \mathbb{Z}$,都有

因此,$n \mathbb{Z} \vartriangleleft \mathbb{Z}$,即$n \mathbb{Z}$是$\mathbb{Z}$的正规子群
又因为

因此$\mathbb{Z} /n \mathbb{Z}$ is $\mathbb{I}_{n}$

11

题目:
If $N \vartriangleleft G$, then for any subgroup H of group G, HN is also a subgroup.
解答:
若$hn \in HN$,那么$n’ = hnh^{-1} \in N$
因为$N \vartriangleleft G$,且$hn=hnh^{-1}h=n’h \in NH$
因此$HN \subseteq NH$
同理$NH \subseteq HN$
因此$HN=NH$
因为$1 \in H$且$1 \in N$,所以有$1=1 \cdot 1 \in HN$
若$hn \in HN$,那么有$(hn)^{-1}=n^{-1}h^{-1} \in NH =HN$
若$hn,h_{1}n_{1} \in HN$
那么$h_{1}^{-1}nh_{1}=n’ \in N$并且

因此$HN$是$G$的子群

12

题目:
If H and K are subgroups of a group G, then

  1. HK is a subgroup iff HK=KH
  2. If G is an abelian group, and $H \cap K= \lbrace 1 \rbrace$ , then $HK \cong H \times K$

解答:
(1)
若$HK < G$,下证$HK=KH$
对任意$h \in H, k \in K$,有$(kh)^{-1} = h^{-1}k^{-1} \in HK$
由$HK < G$之$HK$对逆元封闭,所以$kh=(h^{-1}k^{-1})^{-1} \in HK$
由$kh$的任意性,$KH \subset HK$
对任意$h \in H, k \in K$,由$HK < G$知$k^{-1} h^{-1} \in HK$
特别地,存在$x \in H, y \in K, xy=k^{-1}h^{-1}$
两边同时取逆,$hk=y^{-1}x^{-1} \in KH$,由$hk$的任意性知$HK \subset KH$
因此$HK=KH$
若$HK = KH$,下证$HK < G$
对于任意$h_{1}k_{1},h_{2}k_{2} \in HK$,有$h_{1}k_{1}(h_{2}k_{2})^{-1}=h_{1}k_{1}k_{2}^{-1}h_{2}^{-1}$
由$HK = KH$知,存在$h \in H, k \in K$使得$hk=k_{1}k_{2}^{-1}h_{2}^{-1}$
所以$h_{1}k_{1}(h_{2}k_{2})^{-1}=h_{1}hk \in HK$
特别地,$HK < G$
综上,$HK$是子群当且仅当$HK=KH$
(2)
因为$G$是一个阿贝尔群
所以$H$和$K$都是$G$的正规子群
若$hk=h’k’$,那么$h’^{-1}h=k’k^{-1} \in H \cap K = \lbrace 1 \rbrace$
因此$h’=h,k’=k$
令$g=hk \in G=HK,h \in H,k \in K$
定义函数$\varphi : G \to H \times K$,其中$\varphi (g)=(h,k)$
令$g’=h’k’$,那么$gg’=hkh’k’=hh’kk’$
因此

因此函数$\varphi$是一个同态
由于$K$是一个正规子群,那么有$(hkh^{-1})k^{-1} \in K$
由于$H$是一个正规子群,那么有$h(kh^{-1}k^{-1}) \in H$
但因为$H \cap K = \lbrace 1 \rbrace$,所以$hkh^{-1}k^{-1}=1$且$hk=kh$
若$(h,k) \in H \times K$,那么$\varphi (h)=(h,k)$
因此$\varphi$满射
若$\varphi (g)=(1,1)$,那么$g=1$
因此$\mathbf{ker} \varphi =1$,$\varphi$单射
综上所述,$\varphi$是一个同构,即可得$HK \cong H \times K$