抽象代数习题--群论部分

如有疏漏，敬请指正

1

题目：
Compute the order and inverse of $(12)(43)(13542)(15)(13)(23)$.
解答：
化简得$(12)(43)(13542)(15)(13)(23)=(154)(23)$
故阶为$k=lcm(3,2)=6$
逆为$((154)(23))^{-1}=(32)(451)$
注意：默认为从右向左运算

2

题目：
How many permutations of order 2 are there in $S_{n}$?
解答：

$$\sum\limits_{k=1}^{\left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor}\frac{n!}{(n-2k)!k!2^{k}}$$

3

题目：
$GL(2,Q)$ denotes the set of the nonsingular (having nonzero determinant, 行列式非 0) rational square matrix of length 2 under matrix product.

1. Show that it’s a group.
2. Compute the order of A=[0, -1; 1, 0] and B=[0, 1; -1, 1] .
3. What’s the order of AB ?

解答：
(1)
令$A,B \in GL(2,Q)$，在$GL(2,Q)$中定义的运算为矩阵乘法

易证：$\mid AB \mid = \mid A \mid \mid B \mid$，由于$\mid A \mid \neq 0, \mid B \mid \neq 0$，因此$\mid AB \mid \neq 0$，因此$AB \in GL(2,Q)$

令A,B,C为$m \times m$矩阵

由矩阵乘法的定义不难得出$(AB)C$和$A(BC)$为$m \times m$矩阵，A(BC)第i行第j列元素为

$$\sum\limits_{s=1}^{m}a_{is} \left(\sum\limits_{t=1}^{m}b_{st}c_{tj} \right)=\sum\limits_{t=1}^{m} \left(\sum_{s=1}^{m}a_{is}b_{st}\right) c_{tj}, i=1,2, \cdots ,m,j=1,2, \cdots ,m$$

即为(AB)C的第i行第j列元素

因此方阵乘法具有结合性

存在单位矩阵$E$，使得$\forall A \in GL(2,Q),EA=A$

$\forall A \in GL(2,Q),\mid A \mid \neq 0$，且A为方阵，因此存在$A^{-1}$，使得$A^{-1}A=E$
又因为$\mid A^{-1} \mid = \frac{1}{\mid A \mid}$且$\mid A \mid \neq 0$，所以$A^{-1} \in GL(2,Q)$

因此，$GL(2,Q)$是群
(2)
A的阶为4
B的阶为6
(3)
用数学归纳法容易证明：

$$(AB)^{n}= \begin {bmatrix} 1 & -n \\\ 0 & 1 \end {bmatrix}$$

因此阶为无穷大

4

题目：
Under matrix product, the special linear group is defined as:

$$SL(2,R) =\lbrace A∈GL(2,R) :det(A)=1 \rbrace$$

Prove that it’s a subgroup of $GL(2,R)$.
解答：
对任意$X \in SL(2,R)$，有$X \in GL(2,R)$，因而$SL(2,R) \subseteq GL(2,R)$
因为单位矩阵$E$的行列式值$\mid E \mid = 1$
所以$E \in SL(2,R)$
对任意$X,Y \in SL(2,R)$，有$\mid XY \mid = \mid X \mid \mid Y \mid =1$
所以$XY \in SL(2,R)$
对任意$X \in SL(2,R)$，有$\mid X^{-1} \mid = \frac{1}{\mid X \mid}=1$
所以$X^{-1} \in SL(2,R)$
综上：$SL(2,R)$是$GL(2,R)$的子群

5

题目：

1. The stochastic group $\sum (n,R)$ is a subset of $GL(n,R)$ that each column sums to 1. Prove that it’s a group.
2. The doubly stochastic group $\sum ‘(n,R)$ is a subset of $GL(n,R)$ that each column and each row sum to 1. Prove that it’s a subgroup of $\sum (n,R)$.

解答：
(1)
不失一般性，定义

$$A= \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix}$$ $$B= \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1n} \\\ b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2n} \\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\\ b_{n1} & b_{n2} & \cdots & b_{nn} \end{bmatrix}$$

在集合$\sum (n,R)$上定义矩阵乘法运算
因此，矩阵AB的每列之和为

$$\sum_{j=1}^{n} \sum_{i=1}^{n} a_{ij} b_{jk} , k=1,2, \cdots ,n$$

化简得

$$\sum_{j=1}^{n} b_{jk} \sum_{i=1}^{n} a_{ij} =1$$

因此矩阵乘法对$\sum (n,R)$封闭
易知，矩阵乘法具有结合性
易知，对所有矩阵$A \in \sum (n,R)$，有单位矩阵$E \in \sum (n,R)$使得EA=E
因为$\sum (n,R)$是$GL(n,R)$的子集，因此对于任意$A \in \sum (n,R)$，存在$A^{-1}$使得$A^{-1}A=E$
易知存在$A^{-1} \in \sum (n,R)$
综上，$\sum (n,R)$是群
(2)

$$A= \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix}$$ $$B= \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1n} \\\ b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2n} \\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\\ b_{n1} & b_{n2} & \cdots & b_{nn} \end{bmatrix}$$

在集合$\sum ‘ (n,R)$上定义矩阵乘法运算
因此，矩阵AB的每列之和为

$$\sum_{j=1}^{n} \sum_{i=1}^{n} a_{ij} b_{jk} , k=1,2, \cdots ,n$$

化简得

$$\sum_{j=1}^{n} b_{jk} \sum_{i=1}^{n} a_{ij} =1$$

同理，每行之和为1
因此矩阵乘法对$\sum ‘ (n,R)$封闭
易知，矩阵乘法具有结合性
易知，对所有矩阵$A \in \sum ‘ (n,R)$，有单位矩阵$E \in \sum ‘ (n,R)$使得EA=E
因为$\sum ‘ (n,R)$是$GL(n,R)$的子集，因此对于任意$A \in \sum ‘ (n,R)$，存在$A^{-1}$使得$A^{-1}A=E$
易知存在$A^{-1} \in \sum ‘ (n,R)$
由定义可知$\sum ‘ (n,R) \subseteq \sum (n,R)$
综上，$\sum ‘ (n,R)$是$\sum (n,R)$的子群

6

题目：
已知

$$\alpha= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\\ 6 & 4 & 7 & 2 & 5 & 1 & 8 & 9 & 3 \end{pmatrix}$$

求$\alpha^{-1}$和$\alpha^{3}$
解答：

$$\alpha^{-1}=(5)(9873)(42)(61)$$ $$\alpha^{3}=(16)(24)(3987)(5)$$

7

题目：
Show that determinant is a surjective (but not injective) homomorphism, from matrix product on non-singular $k \times k$ matrices to multiplication on non-zero real numbers

$$det:GL(k, \mathbb{R} ) \to \mathbb{R}^{\times}$$

Note: $\mathbf{ker} det$ is the special linear group $SL(k, \mathbb{R} ) = \lbrace A \in GL(k, \mathbb{R} ):det(A)=1 \rbrace$.
解答：
在$GL(k, \mathbb{R} )$中定义运算为矩阵乘法，在$\mathbb{R}$中定义运算为乘法运算
对任意$X,Y \in GL(k, \mathbb{R} )$
有$det(XY)= \mid XY \mid$
由分块矩阵的性质可得

$$\mid XY \mid = \mid X \mid \mid Y \mid$$

即$det(XY)=det(X)det(Y)$
因此函数$det$是一个同态
对于任意$r \in \mathbb{R}$，都存在$x \in GL(k, \mathbb{R} )$使得$det(x)=r$，其中

$$x= \begin{bmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\\ 0 & 0 & \cdots & r \end{bmatrix}$$

因此$det$是满射
又因为$\mathbf{ker} det=SL(k, \mathbb{R} ) \neq \lbrace E \rbrace$
所以$det$不是单射

8

题目：
The real addition group $(\mathbb{R},+)$ is mapped to $H=((0,1),*)$ on interval $(0,1)$ by sigmoid function $f(x)= \frac{1}{1+e^{-x}}$, where the operation $\ast$ is:

$$a \ast b=\frac{1}{1+\frac{(1-a)(1-b)}{ab}}$$

1. Does H have the 1-element? What is it?
2. Does every element in H have an inverse element?
3. Is the sigmoid function between G and H an isomorphism?

解答：
(1)
假设单位元$1_{H}$存在，即存在$1_{H} \in H$，对任意$b \in H$使得

$$1_{H} \ast b=\frac{1}{1+\frac{(1-1_{H})(1-b)}{1_{H}b}}=b$$

解得$1_{H}=\frac{1}{2} \in H$
因此，存在单位元$1_{H}=\frac{1}{2}$
(2)
假设对任意$a \in H$，都存在$a’ \in H$，使得$a \ast a’ = 1_{H}$
即

$$a \ast a'=\frac{1}{1+\frac{(1-a)(1-a')}{aa'}}=\frac{1}{2}$$

解得$a’=1-a$
因为$a \in (0,1)$，所以$1-a \in (0,1)$，即$a’ \in (0,1)$
所以，对任意$a \in H$，都存在$a’ \in H$，使得$a \ast a’ = 1_{H}$
(3)
求得

$$f(a+b)=\frac{1}{1+e^{-a-b}}$$

而

$$f(a) \ast f(b)= \frac{1}{2+(1+e^{-a})(1+e^{-b})-(1+e^{-a})-(1+e^{-b})}= \frac{1}{1+e^{-a-b}}$$

因此$f(a+b)=f(a) \ast f(b)$，即$f$是一个同态
对任意$y \in (0,1)$，都有$x=-ln(\frac{1}{y}-1)$
计算可得$x \in \mathbb{R}$
因此$f$是满射
解方程$\frac{1}{1+e^{-x}}= \frac{1}{2}$
可得$x=0$，这是$(\mathbb{R},+)$的单位元
因此$\mathbf{ker} f={1_{\mathbb{R}}}$，即$f$是单射
综上，$f$是双射，即$f$是一个同构

9

题目：
Group $( \mathbb{R} ,+)$ is mapped to $K=(\mathbb{R}^{+}, \&)$ by softplus function $f(x)=ln(1+e^{x})$.

1. Find a proper operation & which makes it a homomorphism.
2. Prove that K is an abelian group with the above &.

解答：
(1)

$$a \& b=ln(e^{a+b}-e^{a}-e^{b}+2)$$

(2)
对任意$a,b \in K$，因为$a,b > 0$，$e^{a},e^{b} > 1$，即$(1-e^{a})(1-e^{b})>0$
所以$1-e^{a}-e^{b}+e^{a+b} > 0$，即$e^{a+b}-e^{a}-e^{b}+2 > 1$
所以$a \& b=ln(e^{a+b}-e^{a}-e^{b}+2)>0$
可得运算$\&$对$K$封闭
根据运算$\&$的定义

$$(a \& b) \& c =ln(e^{a+b+c}-e^{a+b}-e^{a+c}-e^{b+c}+e^{a}+e^{b}+e^{c}) =a \& (b \& c)$$

因此运算$\&$满足结合律
存在单位元$1_{K}=ln2$，使得对所有$a \in K$，都有$1_{K} \& a=a$
对任意$a \in K$，假设逆元存在，即存在$a’ \in K$，使得$a \& a’ = ln2$
解得

$$a' = ln \left( \frac{e^{a}}{e^{a}-1} \right)$$

因为$a \in \mathbb{R}^{+}$，所以$e^{a}-1>0$
又因为$e^{a}>e^{a}-1$，所以$\frac{e^{a}}{e^{a}-1} > 1$，所以$a’ \in \mathbb{R}^{+}$
即对任意$a \in K$，都有$a’ \in K$
综上所述，$K$是群
因为$a \& b =ln(e^{a+b}-e^{a}-e^{b}+2) =b \& a$
所以$K$也是阿贝尔群

10

题目：
Show that for any $n \in \mathbb{Z}$, $(n \mathbb{Z},+) \vartriangleleft (\mathbb{Z},+)$, and $\mathbb{Z} /n \mathbb{Z}$ is $\mathbb{I}_{n}$
解答：
易知，$n \mathbb{Z}$和$\mathbb{Z}$的单位元为$0$
则对每一个$k \in n \mathbb{Z}$和$g \in \mathbb{Z}$,都有

$$g+k+(-g)=k \in n \mathbb{Z}$$

因此，$n \mathbb{Z} \vartriangleleft \mathbb{Z}$，即$n \mathbb{Z}$是$\mathbb{Z}$的正规子群
又因为

$$\mathbb{Z} = n \mathbb{Z} \cup (n \mathbb{Z} +1) \cup (n \mathbb{Z} +2) \cup \cdots \cup (n \mathbb{Z} +n-1)$$

因此$\mathbb{Z} /n \mathbb{Z}$ is $\mathbb{I}_{n}$

11

题目：
If $N \vartriangleleft G$, then for any subgroup H of group G, HN is also a subgroup.
解答：
若$hn \in HN$，那么$n’ = hnh^{-1} \in N$
因为$N \vartriangleleft G$，且$hn=hnh^{-1}h=n’h \in NH$
因此$HN \subseteq NH$
同理$NH \subseteq HN$
因此$HN=NH$
因为$1 \in H$且$1 \in N$，所以有$1=1 \cdot 1 \in HN$
若$hn \in HN$，那么有$(hn)^{-1}=n^{-1}h^{-1} \in NH =HN$
若$hn,h_{1}n_{1} \in HN$
那么$h_{1}^{-1}nh_{1}=n’ \in N$并且

$$hnh_{1}n_{1}=hh_{1}(h_{1}^{-1}nh_{1})n_{1}=(hh_{1})(n'n_{1}) \in HN$$

因此$HN$是$G$的子群

12

题目：
If H and K are subgroups of a group G, then

1. HK is a subgroup iff HK=KH
2. If G is an abelian group, and $H \cap K= \lbrace 1 \rbrace$ , then $HK \cong H \times K$

解答：
(1)
若$HK < G$，下证$HK=KH$
对任意$h \in H, k \in K$，有$(kh)^{-1} = h^{-1}k^{-1} \in HK$
由$HK < G$之$HK$对逆元封闭，所以$kh=(h^{-1}k^{-1})^{-1} \in HK$
由$kh$的任意性，$KH \subseteq HK$
对任意$h \in H, k \in K$，由$HK < G$知$k^{-1} h^{-1} \in HK$
特别地，存在$x \in H, y \in K, xy=k^{-1}h^{-1}$
两边同时取逆，$hk=y^{-1}x^{-1} \in KH$，由$hk$的任意性知$HK \subseteq KH$
因此$HK=KH$
若$HK = KH$，下证$HK < G$
对于任意$h_{1}k_{1},h_{2}k_{2} \in HK$，有$h_{1}k_{1}(h_{2}k_{2})^{-1}=h_{1}k_{1}k_{2}^{-1}h_{2}^{-1}$
由$HK = KH$知，存在$h \in H, k \in K$使得$hk=k_{1}k_{2}^{-1}h_{2}^{-1}$
所以$h_{1}k_{1}(h_{2}k_{2})^{-1}=h_{1}hk \in HK$
特别地，$HK < G$
综上，$HK$是子群当且仅当$HK=KH$
(2)
因为$G$是一个阿贝尔群
所以$H$和$K$都是$G$的正规子群
若$hk=h’k’$，那么$h’^{-1}h=k’k^{-1} \in H \cap K = \lbrace 1 \rbrace$
因此$h’=h,k’=k$
令$g=hk \in G=HK,h \in H,k \in K$
定义函数$\varphi : G \to H \times K$，其中$\varphi (g)=(h,k)$
令$g’=h’k’$，那么$gg’=hkh’k’=hh’kk’$
因此

$$\varphi (gg') = \varphi (hkh'k')=\varphi(hh'kk') = (hh',kk')=(h,k)(h',k')= \varphi(g) \varphi(g')$$

因此函数$\varphi$是一个同态
由于$K$是一个正规子群，那么有$(hkh^{-1})k^{-1} \in K$
由于$H$是一个正规子群，那么有$h(kh^{-1}k^{-1}) \in H$
但因为$H \cap K = \lbrace 1 \rbrace$，所以$hkh^{-1}k^{-1}=1$且$hk=kh$
若$(h,k) \in H \times K$，那么$\varphi (h)=(h,k)$
因此$\varphi$满射
若$\varphi (g)=(1,1)$，那么$g=1$
因此$\mathbf{ker} \varphi =1$，$\varphi$单射
综上所述，$\varphi$是一个同构，即可得$HK \cong H \times K$